Kategoria II, 10 lipca 2009, 18:51

[Liga]

Zadanie 1 - brak
Zadanie 2.
Oznaczmy przez x wagę stopu pierwszego, a przez y wagę stopu drugiego
(tzn ilość, jaką trzeba wziąć do końcowego stopu; interesuje nas oczywiście stosunek x do y)
Z treści zadania otrzymujemy, że w pierwszym stopie jest \(\displaystyle{ \frac{1}{3}x}\) miedzi i \(\displaystyle{ \frac{2}{3}x}\) cynku. W drugim stopie mamy \(\displaystyle{ \frac{3}{8}y}\) miedzi i \(\displaystyle{ \frac{5}{8}y}\) cynku. Wiemy, że w końcowym stopie stosunek miedzi do cynku wynosi \(\displaystyle{ 5:9}\). Sumując odpowiednio miedź i cynk z obydwu stopów, a następnie przyrównując ich stosunek do zadanego otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{3}x+ \frac{3}{8}y }{ \frac{2}{3}x+ \frac{5}{8}y} = \frac{5}{9}}\) .
Przekształcając równoważnie otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{x}{y} = \frac{3}{4}}\)
Zatem te dwa stopy należy wziąć w stosunku \(\displaystyle{ 3:4}\). Bezpośrednie sprawdzenie przekonuje nas o poprawności uzyskanego wyniku.

Zadanie 3.
Rozważmy ciąg \(\displaystyle{ b_{n}: b_{1}=2, \ b_{n+1}=2 \cdot b_{n}}\) Zauważmy, że nasz dany ciąg \(\displaystyle{ u_{n}}\) rośnie szybciej niż ciąg \(\displaystyle{ b_{n}}\). Jednak wzór ogólny ciągu \(\displaystyle{ b_{n}}\) to \(\displaystyle{ b_{n}=2^{n}}\). Rozwiązując nierówność
\(\displaystyle{ 2^{n}<9001}\) (*)
otrzymujemy, że \(\displaystyle{ b_{13}=8192}\) jest ostatnim wyraz tego ciągu, spełniającym nierówność (*). Z powyższych obserwacji wynika, że największe \(\displaystyle{ n}\) takie, że \(\displaystyle{ u_{n}<9001}\) jest nie większe od \(\displaystyle{ 13}\). Sprawdzając ręcznie przekonujemy się, że \(\displaystyle{ u_{11}=8185}\) jest największym wyrazem ciągu spełniającym warunki zadania.
Zatem szukaną wartością jest \(\displaystyle{ n=11}\).

Zadanie 4.
Zacznijmy od zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\). Każdemu z dwudziestu pięciu argumentów musi być przyporządkowana jedna z trzydziestu jeden wartości. Zatem \(\displaystyle{ |\Omega|=31^{25}}\), gdzie \(\displaystyle{ |A|}\)oznacza moc zbioru A.
Przejdźmy do poszczególnych podpunktów.
a) Rozpatrywane zdarzenie oznaczmy przez \(\displaystyle{ K}\)
Oznaczmy zbiory podane w treści zadania:
\(\displaystyle{ X=\{1,2,3,...,25\} , \ Y=\{1,2,...,31\}}\)
Zauważmy, że rozpatrujemy funkcje różnowartościowe.
Istotnie, jeżeli \(\displaystyle{ f(a)>f(b) \ dla \ a>b}\), czyli zachodzi nierówność ostra, to rozpatrywane funkcje to rzeczywiście iniekcje.
Stwierdzamy zatem, że zbiór wartości każdej funkcji spełniającej warunki zadania będzie zbiorem 25 elementów spośród 31 zawartych w zbiorze \(\displaystyle{ Y}\) . Wynika z tego, że dokładnie \(\displaystyle{ 6}\) elementów z zbioru \(\displaystyle{ Y}\) będzie nieprzyporządkowanych żadnemu argumentowi.
Niech \(\displaystyle{ f_{n}: \{1,2,...,25} \mapsto \Y'}\) , gdzie \(\displaystyle{ Y'}\) jest 25-elementowym podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ Y}\). Zauważmy, że dla dowolnego \(\displaystyle{ Y'}\) istnieje dokładnie jedna rosnąca funkcja \(\displaystyle{ f_{n}}\). Jest to prawdą, ponieważ dowolny zbiór, w którym wszystkie elementy są parami różne, można uporządkować rosnąco tylko w jeden możliwy sposób.
Na mocy tych obserwacji stwierdzamy, że poszukiwanych funkcji rosnących będzie tyle, ile 6-elementowych podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ Y}\), a więc i tyle, ile 25-elementowych podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ Y}\). Te liczby są oczywiście równe i wynoszą:
\(\displaystyle{ {31 \choose 6}= {31 \choose 25}= 736281}\)
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia K wynosi:
\(\displaystyle{ P(K)= \frac{736281}{31^{25}}= \frac{23751}{31^{24}}}\)
b)
Największą wartością przyjmowaną przez naszą funkcję jest \(\displaystyle{ 10}\). Wartość tę musi przyjąć co najmniej jeden argument. Pozostałe argumenty, a jest ich \(\displaystyle{ 24}\), muszą przyjmować wartości nie większe niż \(\displaystyle{ 10}\) (ale mogą przyjąć wartość \(\displaystyle{ 10}\)).
Oznaczmy przez B zbiór zdarzeń sprzyjających,czyli wyboru funkcji, której maksimum wynosi \(\displaystyle{ 10}\). Przejdźmy do obliczenia mocy zbioru B.
Mamy \(\displaystyle{ 25}\) możliwości wyboru argumentu, dla którego funkcja przyjmie maksimum. Pozostałe \(\displaystyle{ 24}\) argumenty mogą przyjmować jedną z 10 wartości. Zatem:
\(\displaystyle{ |B|=25 \cdot 24 \cdot 10=6000}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ P(B)= \frac{6000}{31^{25}}}\)
c)
Rozpatrywane zdarzenie oznaczymy przez \(\displaystyle{ D}\)
Mamy \(\displaystyle{ {31 \choose 2}}\) sposobów wyboru dwóch elementów do zbioru wartości. Rozważmy, ile różnych funkcji możemy otrzymać przez przyporządkowanie jednej z dwóch wartości do poszczególnych argumentów.
Niech \(\displaystyle{ a,b}\) będą dwiema rozpatrywanymi wartościami.
Jeżeli w zbiorze wartości naszej funkcji jeden argument przyjmie wartość \(\displaystyle{ a}\), a pozostałe (jest ich oczywiście 24) wartość \(\displaystyle{ b}\), to otrzymamy tyle różnych funkcji, ile argumentów mogących przyjąć wartość \(\displaystyle{ a}\). Jest ich oczywiście \(\displaystyle{ {25 \choose 1}}\).
Jeżeli dwa argumenty przyjmą wartość \(\displaystyle{ a}\), to możliwych funkcji będzie tyle, ile możliwości wyboru dwóch argumentów, które przyjmą wartość \(\displaystyle{ a}\). Jest ich \(\displaystyle{ {25 \choose 2}}\).
Kontynuując nasze rozumowanie otrzymamy, że w sumie liczba funkcji spełniających warunki zadania jest
\(\displaystyle{ {25 \choose 1} + {25 \choose 2} +...+ {25 \choose 24}=2^{25}-2}\) (na mocy wzoru dwumiennego Newtona).
Przechodzimy do obliczania prawdopodobieństwa
\(\displaystyle{ P(D)= \frac{2^{25}-2}{31^{25}}}\)

Zadanie 5.
Wychodzimy z podanego w zadaniu równania
\(\displaystyle{ f(x)+4f( \frac{1}{x})=3x}\) (*)
Skoro (*) zachodzi dla dowolnego \(\displaystyle{ x \neq 0}\), więc w miejsce \(\displaystyle{ x}\) podstawiamy \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\).
Otrzymujemy
\(\displaystyle{ f( \frac{1}{x})+4f(x)= \frac{3}{x}}\) (**).
Łącząc (*) i (**) dostajemy układ dwóch równań z dwoma niewiadomymi. Rozwiązując ten układ otrzymamy \(\displaystyle{ f(x)= \frac{4-x^{2}}{5x}}\).
Bezpośrednio sprawdzamy, że otrzymana funkcja rzeczywiście spełnia podane równanie.
Zatem jedyną funkcją spełniającą warunki zadania jest \(\displaystyle{ f(x)= \frac{4-x^{2}}{5x}}\).

[Sylwek]

Oceny:

Zadanie 1 - brak
Zadanie 2 - 6
Zadanie 3 - 6
Zadanie 4 - 2
Zadanie 5 - 6

--

Komentarze:

Zadanie 3:
Należałoby trochę dokładniej opisać, ale jest poprawnie.

Zadanie 4:
a) Ładnie

b) Po pierwsze jeśli to co napisałeś byłoby prawdziwe, to powinno być: \(\displaystyle{ 25 \cdot 10^{24}}\). Po drugie liczysz kilkukrotnie te same możliwości (np. wybierasz, że f(1)=10, ale skoro wszystkie następne f(n) mogą przyjmować każdą z 10 wartości, to może być np. f(2)=10 - tą samą możliwość liczysz ponownie w sytuacji, gdy wybierasz f(2)=10, itp.)

[lukasz1804]

Zgadzam się z ocenami, w zadaniu 3. - choć część rozwiązania jest metodą sprawdzania krok po kroku, to jest ona poparta wcześniejszym wnioskowaniem, które tę drugą część znacznie ogranicza.