Kategoria II, 5 lipca 2009, 13:47

[Liga]

Zad.1
Niech \(\displaystyle{ xy=z}\). Maksimum \(\displaystyle{ f(z)=z-z^{2}}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\). Wobec tego \(\displaystyle{ y^{6}+y^{3}+2x^{2}= \sqrt{xy-(xy)^{2}} \le \frac{1}{2} \Rightarrow -y^{6}-y^{3}-2x^{2} \ge - \frac{1}{2}}\).
Dodaję otrzymaną nierówność do nierówności z zadania:
\(\displaystyle{ 4xy^{3}+ \frac{1}{2}-y^{6}-2x^{2} \ge -\frac{1}{2}+2x^{2}+ \sqrt{1+(2x-y)^{2}}}\)
Hmm... Ale:
\(\displaystyle{ \sqrt{1+(2x-y)^{2}} \ge 1}\)(równość następuje dla \(\displaystyle{ 2x=y}\))
\(\displaystyle{ 4x^{2}+y^{6} \ge 2 \sqrt{4x^{2}y^{6}}=4 \left|xy^{3}\right| \ge 4xy^{3}}\)(z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną; równość następuje, gdy \(\displaystyle{ 4x^{2}=y^{6}}\) i \(\displaystyle{ 4xy^{3} \ge 0)}\)
Można z tego wywnioskować, że \(\displaystyle{ 4xy^{3}+ \frac{1}{2}-y^{6}-2x^{2} = -\frac{1}{2}+2x^{2}+ \sqrt{1+(2x-y)^{2}}}\)
A więc \(\displaystyle{ 2x=y \Rightarrow 4x^{2}=y^{2}}\) i \(\displaystyle{ 4x^{2}=y^{6}}\), czyli
\(\displaystyle{ y^{2}(y-1)(y+1)(y^{2}+1)=0 \Rightarrow y=0, x=0 \vee y=1, x=0,5 \vee y=-1, x=-0,5}\).
Łatwo sprawdzić, że tylko \(\displaystyle{ x=-0,5, y=-1}\)spełniają warunki zadania.

Zad.2
\(\displaystyle{ \frac{x}{y}=?}\)
Założenia: \(\displaystyle{ x,y>0}\)
\(\displaystyle{ x}\)-waga pierwszego stopu
miedź:\(\displaystyle{ \frac{1}{3}x}\)
\(\displaystyle{ y}\)-waga drugiego stopu
miedź:\(\displaystyle{ \frac{3}{8}y}\)
\(\displaystyle{ x+y}\) - waga trzeciego stopu
miedź:\(\displaystyle{ \frac{5}{14}(x+y)}\)
Więc: \(\displaystyle{ \frac{1}{3}x+ \frac{3}{8}y=\frac{5}{14}(x+y) \Rightarrow \frac{x}{y}= \frac{3}{4}}\)

Zad.3
Można udowodnić indukcyjnie, że \(\displaystyle{ u_{n}=2^{n+2}-7}\)
Sprawdzenie dla \(\displaystyle{ n=1}\):prawda
Założenie indukcyjne: istnieje takie \(\displaystyle{ n \in N}\), że \(\displaystyle{ u_{n}=2^{n+2}-7}\)
Teza:\(\displaystyle{ u_{n+1}=2^{n+3}-7}\)
Dowód:\(\displaystyle{ u_{n+1}=2u_{n}+7=2^{n+3}-14+7=2^{n+3}-7}\)
Na mocy indukcji rzeczywiście \(\displaystyle{ u_{n}=2^{n+2}-7}\)
\(\displaystyle{ 2^{n+2}-7 < 9001 \Rightarrow 2^{n+2} < 9008}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ 2^{13}<9008<2^{14}}\), największym \(\displaystyle{ n}\) spełniającym nierówność jest \(\displaystyle{ n=11}\)

Zad.4
Wszystkie możliwe do otrzymania funkcje: \(\displaystyle{ 31^{25}}\)
a.
Funkcja rosnąca jest różnowartościowa.
Wobec tego interesują mnie funkcje odwzorowujące zbiór \(\displaystyle{ \lbrace 1,2,...,25 \rbrace}\)na 25-elementowy podzbiór zbioru \(\displaystyle{ \lbrace 1,2,...,31 \rbrace}\).
25-cio elementowych podzbiorów \(\displaystyle{ \lbrace 1,2,...,31 \rbrace}\) jest \(\displaystyle{ {31\choose 25}}\).
Tyle samo samo jest rosnących funkcji. Dlaczego? Dla jednego 25-elementowego podzbioru elementy można ustawić rosnąco dokładnie w jeden sposób.
Prawdopodobieństwo wylosowania funkcji rosnącej: \(\displaystyle{ \frac{{31\choose 25}}{31^{25}}}\)
b.
Interesują mnie takie funkcje \(\displaystyle{ f: \lbrace 1,2,...,25 \rbrace \mapsto \lbrace 1,2,...,10 \rbrace}\)
A takie mnie nie interesują (ponieważ chcę mieć pewność, że istnieje taki argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 10): \(\displaystyle{ f: \lbrace 1,2,...,25 \rbrace \mapsto \lbrace 1,2,...,9 \rbrace}\)
Prawdopodobieństwo wylosowania funkcji, której maksimum wynosi 10: \(\displaystyle{ \frac{10^{25}-9^{25}}{31^{25}}}\)
c.
Ilość:
-dwuelementowych podzbiorów \(\displaystyle{ \lbrace 1,2,...,31 \rbrace}\): \(\displaystyle{ {31\choose 2}}\)
-funkcji odwzorowujących \(\displaystyle{ \lbrace 1,2,...,25 \rbrace}\) w jeden konkretny dwuelementowy podzbiór \(\displaystyle{ \lbrace 1,2,...,31 \rbrace}\): \(\displaystyle{ 2^{25}}\)
-wszystkich funkcji odwzorowujących \(\displaystyle{ \lbrace 1,2,...,25 \rbrace}\) w dowolny dwuelementowy podzbiór \(\displaystyle{ \lbrace 1,2,...,31 \rbrace}\): \(\displaystyle{ 2^{25} \cdot {31\choose 2}}\)
-funkcji odwzorowujących \(\displaystyle{ \lbrace 1,2,...,25 \rbrace}\) na konkretny jednoelementowy podzbiór \(\displaystyle{ \lbrace 1,2,...,31 \rbrace}\): \(\displaystyle{ 1}\).
Zadanie dotyczy funkcji, które spełniają dla \(\displaystyle{ k,l \in N, k \neq l, k,l \in <1,31>}\)
\(\displaystyle{ f: \lbrace 1,2,...,25 \rbrace \mapsto \lbrace k,l \rbrace}\)
ale nie spełniają:
\(\displaystyle{ f: \lbrace 1,2,...,25 \rbrace \mapsto \lbrace k \rbrace}\)
\(\displaystyle{ f: \lbrace 1,2,...,25 \rbrace \mapsto \lbrace l \rbrace}\)
Takich funkcji jest: \(\displaystyle{ 2^{25} \cdot {31\choose 2}-2{31\choose 2}}\)
Prawdopodobieństwo wylosowania funkcji, której zbiór wartości jest dwuelementowy: \(\displaystyle{ \frac{2^{25} \cdot {31\choose 2}-2{31\choose 2}}{31^{25}}}\)

Zad.5
\(\displaystyle{ f(x)+4f( \frac{1}{x})=3x}\)
\(\displaystyle{ x \rightarrow \frac{1}{x}}\)
\(\displaystyle{ f( \frac{1}{x})+4f(x)= \frac{3}{x} \Rightarrow-4f( \frac{1}{x})-16f(x)= \frac{-12}{x}}\)
\(\displaystyle{ f(x)+4f( \frac{1}{x})-4f( \frac{1}{x})-16f(x)=3x- \frac{12}{x}}\)
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{4-x^{2}}{5x}}\)

[lukasz1804]

Oceny:
zadanie 1.: 6
zadanie 2.: 6
zadanie 3.: 6
zadanie 4.: 6
zadanie 5.: 6

Rozwiązania zadań są w pełni poprawne.

[Sylwek]

Zgadzam się z wszystkimi ocenami.