Kategoria II, 5 lipca 2009, 20:13

[Liga]

Zadanie 1.

Odejmując stronami równania otrzymujemy:
\(\displaystyle{ ( y^{3} -2x)^{2} \le \sqrt{xy- x^{2}y^{2}} - \sqrt{1+(2x-y)^{2}} + \frac{1}{2}}\)
zauważmy, że \(\displaystyle{ xy-x^{2}y^{2} \le \frac{1}{4}}\) zetem \(\displaystyle{ \sqrt{xy- x^{2}y^{2}} \le \frac{1}{2} oraz \sqrt{1+(2x-y)^{2}} \ge 1}\)
stąd otrzymujemy, że \(\displaystyle{ 0 \le ( y^{3} -2x)^{2} \le \sqrt{xy- x^{2}y^{2}} - \sqrt{1+(2x-y)^{2}} + \frac{1}{2} \le 0}\)
więc
\(\displaystyle{ \sqrt{xy- x^{2}y^{2}} = \frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt{1+(2x-y)^{2}}=1}\) stąd otrzymujemy prosty układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases}xy- x^{2}y^{2}= \frac{1}{4} } \\2x-y=0\end{cases}}\)
rozwiązując go otrzymujemy jedną parę liczb \(\displaystyle{ x = \frac{1}{2}}\) i \(\displaystyle{ y=1}\) c.d.b.o.

Zadanie 2.

Zadnie się sprowadza do prostego równania:
\(\displaystyle{ \frac{x+3y}{2x+5y} = \frac{5}{9}}\) obliczając je otrzymujemy
x=2y zatem należy wziąć dwa stopy w stosunku 2:1
c.b.d.o.

zadanie 3.

oczywistym faktem jest, że ciąg ten jest rosnący ponieważ
\(\displaystyle{ u_{n+1}-u_{n} =2 u_{n} +7- u_{n} = u_{n} +7 \ge 0}\)
wypisując kolejne wyrazy \(\displaystyle{ u_{1}= 1, u_{2}= 9, u_{3}= 25, u_{4}= 57, u_{5}= 121, u_{6}= 249, u_{7}= 505, u_{8}= 1017}\)
\(\displaystyle{ u_{9}= 2041, u_{10}= 4089, u_{11}= 8185, u_{12}= 16377}\) zauważamy, że największa liczba n dla której zachodzi nierówność \(\displaystyle{ u_{n} <9001}\) jest 11.
c.b.d.o.

zadanie 4.

a) podpunkt ten sprowadza się do prawdopodobieństwa wybrania 25 elementowego rosnącego podciągu ciągu 31 elementowego składającego się z kolejnych liczb całkowitych. Liczbę wszystkich takich podciągów możemy łatwo obliczyć licząc na ile sposobów można wykreślić z ciągu 6 elementów. Stąd
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{ {31 \choose 6} }{31 ^{25} }}\)

b) jeżeli maksimum funkcji ma wynosić 10 zatem zbiorem wartości mogą być liczby 1,2,....,10. odrzucamy jeszcze zbiory wartości w których nie występuje wartość 10 stąd prawdopodobieństwo otrzymania takiej funkcji wynosi
\(\displaystyle{ P(B)= \frac{10 ^{25}-9^{25} }{ 31^{25} }}\)

c) wszystkich dwuelementowych zbiorów jest {31 choose 2} rozmieszczenie tych elemntów na 25 miejscach można wykonać na 2^{25} musimy jednak wykluczyć rozstawienie w którym powstanie zbiór jednoelementowy stąd
\(\displaystyle{ P(C)= \frac{{31 \choose 2} *2^{25}-2 }{31^{25} }}\)

zadanie 5.

podstawiając pod \(\displaystyle{ x \frac{1}{x}}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ f( \frac{1}{x} )+4f(x)= \frac{3}{x}}\) odejmując stronami oba równania otrzymujemy
\(\displaystyle{ 3f(x)-3f( \frac{1}{x} )= \frac{3}{x} -3x}\)dzieląc przez 3 i podstawiając pod \(\displaystyle{ f( \frac{1}{x} )}\) wartość \(\displaystyle{ \frac{3}{x} -4f(x)}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ 5f(x) = \frac{1}{x}-x+ \frac{3}{x}}\) stąd
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{4- x^{2} }{5x}}\) c.b.d.o.

[lukasz1804]

Oceny:
zadanie 1.: 5
zadanie 2.: 0
zadanie 3.: 0
zadanie 4.: 0
zadanie 5.: 6

Zadanie 1.

(...)stąd otrzymujemy prosty układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases}xy- x^{2}y^{2}= \frac{1}{4} } \\2x-y=0\end{cases}}\)
rozwiązując go otrzymujemy jedną parę liczb \(\displaystyle{ x = \frac{1}{2}}\) i \(\displaystyle{ y=1}\)

Powyższy układ równań ma dwa rozwiązania \(\displaystyle{ (\frac{1}{2},1), (-\frac{1}{2},-1)}\), jednak nie to wyznaczone ale to drugie spełnia pierwszy z żądanych w zadaniu warunków.

Zadanie 2.

Rozwiązanie błędne, niewłaściwie zinterpretowano stosunki masowe.

Zadanie 3.

Rozwiązanie nie zawiera żadnego wnioskowania prowadzącego do wyniku, a jedynie wyznaczanie krok po kroku kolejnych wartości ciągu.

Zadanie 4.

a) podpunkt ten sprowadza się do prawdopodobieństwa wybrania 25 elementowego rosnącego podciągu ciągu 31 elementowego składającego się z kolejnych liczb całkowitych. Liczbę wszystkich takich podciągów możemy łatwo obliczyć licząc na ile sposobów można wykreślić z ciągu 6 elementów.

Należało wybrać 25-elementowe kombinacje zbioru 31-elementowego.

c) wszystkich dwuelementowych zbiorów jest {31 choose 2} rozmieszczenie tych elemntów na 25 miejscach można wykonać na 2^{25} musimy jednak wykluczyć rozstawienie w którym powstanie zbiór jednoelementowy stąd
\(\displaystyle{ P(C)= \frac{{31 \choose 2} *2^{25}-2 }{31^{25} }}\)

Błąd przy obliczaniu ilości ustawień, przy których powstanie zbiór jednoelementowy.

[Sylwek]

Nie zgadzam się z:

Zadanie 3 - Proponuję 6. Tak, racja, ale taka jest specyfika zadania. Rozwiązanie brutalne, niemniej poprawne. Musimy na przyszłość unikać zadań, które da się rozwiązać "na pałę".

Zadanie 4 - Proponuję 5. Podpunkt a jest zrobiony OK, wszakże: \(\displaystyle{ \binom{31}{6}=\binom{31}{25}}\). Błąd w podpunkcie c moim zdaniem nie jest zrobiony z niewiedzy, ale z braku uwagi. Osoba zapomniała wstawić nawiasu, dlatego nie powinniśmy za ten podpunkt obcinać do 2, ale proponuję 5 - aby ta osoba na przyszłość uważała.

OK?