Kategoria II, 10 lipca 2009, 20:17

[Liga]

zadanie 1
Najpierw zajmiemy się dziedziną: \(\displaystyle{ D=\{ (x,y) \in R^{2}: xy-x^{2}y^{2} \ge 0 \wedge 1+(2x-y)^{2} \ge 0} \}}\). Druga nierówność jest zawsze spełniona zajmiemy się pierwszą. Przekształcamy ją i mamy \(\displaystyle{ xy(1-xy) \ge 0}\), a dalej rozważamy dwa przypadki
(1) \(\displaystyle{ xy \le 0 \wedge 1-xy \le 0}\)
(2) \(\displaystyle{ xy \ge 0 \wedge 1-xy \ge 0}\)
W przypadku (1) jest sprzeczność czyli dziedzina będzie definiowana tylko przez przypadek (2) który po dalzych przkstałceniach elementarnych da nam taką dziedzinę:
\(\displaystyle{ D=\{(x,y) \in R^{2}:xy \in [0,1]\}}\).
Mhh i na tyle w tym temacie co dalej nie wiem po 1,5 dnia poddaje się:(

zadanie 2
Analizując zadanie widzimy że w dowolnej jednostce (wagi 1kg, 1dg, 1g) stopu pierwszego znajduje się \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) miedzi i \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) cynku a w stopie drugim analogicznie \(\displaystyle{ \frac{3}{8}}\) miedzi i \(\displaystyle{ \frac{5}{8}}\) cynku. Układamy więc układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a( \frac{1}{3}m+ \frac{2}{3} c)+b( \frac{3}{8} m+ \frac{5}{8}c)= \frac{5}{14}m+ \frac{9}{14} c \\ a+b=1 \end{cases}}\) m i c są oznaczeniami zawartości odpowiednio miedzi i cynku. Rozwiązujemy układ przeksztalcając równanie (2) do postaci \(\displaystyle{ b=1-a}\) i podstawiając to do równania pierwszego. Po przekształceniach otrzymujemy \(\displaystyle{ -\frac{1}{24}am+ \frac{1}{24}ac=- \frac{1}{56}m+ \frac{1}{56}c}\) porównując liczby przy odpowiednich danych otrzymujemy układ
\(\displaystyle{ \begin{cases}- \frac{1}{24}a=- \frac{1}{56} \\ \frac{1}{24}a= \frac{1}{56}\end{cases}}\) czyli \(\displaystyle{ a= \frac{24}{56}}\) i odpowiednio \(\displaystyle{ b= \frac{32}{56}}\) szukany stosunek ilości pierwszego stopu do drugiego stopu to \(\displaystyle{ \frac{24}{56} : \frac{32}{56}}\) czyli \(\displaystyle{ 3:4}\) (rozwiązanie było dopasowane dla wartości jednostkowych nic jednk nie stoi na przeszkodzie żeby liczyć to dla dowolnych wartości tzn \(\displaystyle{ \begin{cases} a( \frac{1}{3}m+ \frac{2}{3} c)+b( \frac{3}{8} m+ \frac{5}{8}c)= p(\frac{5}{14}m+ \frac{9}{14} c) \\ a+b=p \end{cases}}\) gdzie p też traktujmy jako daną \(\displaystyle{ p>0}\))

zadanie 3
Początkowo wypiszmy kilka pierwszych wartości ciągu \(\displaystyle{ 1, 9, 25, 57, 121, 249}\). Teraz zaczynamy liczyć nasz ciąg rekurencyjny
\(\displaystyle{ h(x)= \sum_{n=0}^{ \infty } u_{n+1}x^{n}=1+ \sum_{n=1}^{ \infty } (2u_{n}+7)x^{n}=1+2 \sum_{n=1}^{ \infty }u_{n}x^{n} +7 \sum_{n=1}^{ \infty }x^{n}=1+2x \sum_{n=1}^{ \infty }u_{n}x^{n-1} +7 x\sum_{n=1}^{ \infty }x^{n-1}=1+2xh(x)+ \frac{7x}{1-x}}\)
tutaj w ostatnim przejściu korzystamy z faktu iż \(\displaystyle{ h(x)= \sum_{n=0}^{ \infty } u_{n+1}x^{n}=\sum_{n=1}^{ \infty }u_{n}x^{n-1}}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }x^{n-1}= \frac{1}{1-x}}\)
dalej mamy \(\displaystyle{ h(x)=1+2xh(x)+ \frac{7x}{1-x}}\) a więc \(\displaystyle{ h(x)= \frac{6x+1}{(1-x)(1-2x)}}\) rozkladamy na ułamki proste \(\displaystyle{ h(x)= \frac{-7}{1-x}+ \frac{8}{1-2x}=-7 \sum_{n=0}^{ \infty }x^{n} +8 \sum_{n=0}^{ \infty }(2x)^{n}= \sum_{n=0}^{ \infty }(-7x^{n}+8(2x)^{n})= \sum_{n=0}^{ \infty }x^{n}(-7+8*2^{n})}\)
ale oczywiście \(\displaystyle{ h(x)= \sum_{n=0}^{ \infty } u_{n+1}x^{n}=\sum_{n=0}^{ \infty }x^{n}(-7+8*2^{n})}\) a więc \(\displaystyle{ u_{n+1}=(-7+8*2^{n})=2^{n+3}-7}\) podstawiając odpowiednie n widzimy że istotnie otrzymaliśmy ciąg którego wyrazy wypisaliśmy na początku. teraz pozostało znaleść n dla którego \(\displaystyle{ u_{n}<9001}\). przekstałcamy wyrażenie \(\displaystyle{ u_{n+1}=2u_{n}+7}\) i mamy \(\displaystyle{ u_{n}= \frac{u_{n+1}-7}{2}}\) a podstawiając nasz wzór wyliczony przez nas mamy że \(\displaystyle{ \frac{2^{n+3}-7-7}{2} <9001}\) a obliczając to mamy \(\displaystyle{ 2^{n}<2252}\) czyli największe szukane n to \(\displaystyle{ n=11}\)

zadanie 4
na początku szybko wyliczamy omege \(\displaystyle{ |\Omega|=31^{25}}\)
a) pomysl jest taki aby zastosować zdażenie przeciwne. tutaj będzie to sytuacja gdy funkcja będzie stała lub gdy znajdziemy takie a i b że \(\displaystyle{ f(a)<f(b)}\) dla \(\displaystyle{ a>b}\) Funkcji sałych jest 31 to trywialne. dalej jest trudniej robię to tak że wybieram 2 liczby z dziedziny i przyporządkowuje im dwie liczby z przeciwdziedziny w taki sposób aby spełnić założenie zdarzenia przeciwnego dalej reszte liczb ustawiam zupelnie dowolnie, niektóre rzeczy będą sie powtarzać i tu jest klopot, każde ustawienie będzie powtorzone tyle razy ile znajdziem w nim takich par że \(\displaystyle{ f(a)<f(b)}\) dla \(\displaystyle{ a>b}\) ułamek trzeba skrócić o liczbę powtórzeń. Podsumowując
\(\displaystyle{ P(A)=1- \frac{ {25\choose 2}{31\choose 2}31^{23} +31- \sum_{n=1}^{12}n}{31^{25}}}\)
b) wybieram liczbę i przyporządkowuje jej 10 reszcie liczb z dziedziny przyporządkowuje liczby z zakresu \(\displaystyle{ <1,10>}\) . \(\displaystyle{ P(B)= \frac{{25\choose 1}*10^{24} - \sum_{n=1}^{9}n }{31^{25}}}\)
c) \(\displaystyle{ P(C)= \frac{{31\choose 2}*2^{25}}{31^{25}}}\)

zadanie 5
oczywiście \(\displaystyle{ f(1)= \frac{3}{5}}\) oraz \(\displaystyle{ f(-1)= -\frac{3}{5}}\)
przyjmijmy że
\(\displaystyle{ x=a}\) wtedy \(\displaystyle{ f(a)+4f( \frac{1}{a})=3a}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{1}{a}}\) dla \(\displaystyle{ a \neq 0}\) bo \(\displaystyle{ x \neq 0}\) mamy\(\displaystyle{ f( \frac{1}{a})+4f(a)= \frac{3}{a}}\) oba te równania muszą być spelnione równocześnie a więc mamy układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(a)+4f( \frac{1}{a})=3a \\ f( \frac{1}{a})+4f(a)= \frac{3}{a} \end{cases}}\) sumujemy równania i mamy \(\displaystyle{ f(a)+f( \frac{1}{a})= \frac{3a+ \frac{3}{a}}{5}}\) wyznaczamy z drugiego równania \(\displaystyle{ f( \frac{1}{a})=\frac{3}{a}-4f(a)}\) podstawiając i upraszczając otrzymujem szukaną funkcje \(\displaystyle{ f(x)= \frac{4-x^{2}}{5x}}\)

[lukasz1804]

Oceny:
zadanie 1.: 0
zadanie 2.: 6
zadanie 3.: 6
zadanie 4.: 0
zadanie 5.: 6

W zadaniu 1. nie podjęto próby rozwiązania. Zadanie 4. rozwiązane błędnie, poza wyznaczeniem liczności wszystkich zdarzeń elementarnych.

[Sylwek]

Zgadzam się z wszystkimi ocenami.