Kategoria I, 8 lipca 2009, 16:22

Miejsce na dyskusje i ocenę zadań z I konkursu forumowego ;).
Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

Kategoria I, 8 lipca 2009, 16:22

Post autor: Liga »

1.
Załóżmy, że każda z 15 liczb jest złożona i dana wzorem:
\(\displaystyle{ a _{k}= p_{n} \cdot ... \cdot p _{m}

k,n,m=1,2,...}\)

gdzie \(\displaystyle{ p _{i}}\) to liczba pierwsza.
Składniki ciągu \(\displaystyle{ (a _{k})}\) są parami względnie pierwsze, toteż żadne dwie z nich nie mogą mieć w swoim rozkładzie na czynniki pierwsze tej samej liczby.
Możemy założyć, że każda z liczb \(\displaystyle{ a _{k}}\) jest iloczynem dokładnie 2 liczb pierwszych, ponieważ nie istnieje potrzeba dalszego ich zwiększania. (Założenie)
Wypiszmy 30 początkowych liczb pierwszych:
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,
53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113
Jeśli któraś z danych 15 liczb jest kwadratem liczby pierwszej:
Zakładamy, że wszystkie 15 liczb mają w rozkładzie na czynniki pierwsze którąś z 15 początkowych liczb pierwszych, gdyż nie ma potrzeby używać większej.
Liczba 47 jest 15-tą liczba pierwszą.
\(\displaystyle{ 47 ^{2} >2009}\)
...co jest sprzecznością.
\(\displaystyle{ 47\cdot 43 >2009

47 \cdot 41<2009}\)

Zostało 13 ,,wolnych" liczb pierwszych mniejszych od 47. Można z nich utworzyć max. 13 różnych liczb parami względnie pierwszych (4,9,25,49,121 itd.) Na 15 liczbę trzbe użyć 16-tej liczby pierwszej, jest nią 53.
53*43>2009 (-)
53*37<2009 (+)
Ale teraz zostało 12 l. p. mniejszych od 47, można z nich utworzyć 12 liczb spełniających warunki zadania. Musimy więc rozpatrzyć liczbę 59.
59*31<2009
Kontynuując ten tok rozumowania, dochodzimy do wniosku, że żadna z danych 15 liczb nie może być kwadratem l. pierwszej. Tak więc, by stworzyć 15 liczb spełniających warunki zadania musimy się posłużyć 30 początkowymi l. pierwszymi.
\(\displaystyle{ p _{30}=113}\)

\(\displaystyle{ \frac{2009}{113}<29}\)

\(\displaystyle{ \frac{2009}{109}<29}\)

...

\(\displaystyle{ \frac{2009}{79}<29}\)

\(\displaystyle{ \frac{2009}{73}<29}\)
od 73 do 113 (włącznie) jest 10 liczb pierwszych, ale od 2 do 28 jest tylko 9 liczb pierwszych. Zatem jedna z l. p. z przedziału <73,113> nie ma ,,pary" takiej, aby iloczyn tych dwóch liczb był mniejszy od 2009. Z tego wynika, że co najmniej jedna z wybranych 15 liczb musi być pierwsza.
ckd.

2.
Niech:
\(\displaystyle{ \left|AD \right| = \left|DB \right| =c

\left| AC\right| =d

\left| CD\right| =x}\)


\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \left| EC\right| = \left|EB \right| =a}\)

\(\displaystyle{ \sphericalangle ADC= \sphericalangle BAE= \alpha

\sphericalangle CDB=180- \alpha

(3a) ^{2} =x ^{2} +c ^{2} -2xc\cos(180- \alpha )=x ^{2} +c ^{2} +2xc\cos \alpha

d ^{2} =x ^{2} +c ^{2} -2xc\cos \alpha

(3a) ^{2} =(2c) ^{2} +d ^{2} -2cd\cos (\sphericalangle BAC)

x ^{2} =c ^{2} +d ^{2} -2cd\cos (\sphericalangle BAC)}\)

Podstawiamy:
\(\displaystyle{ (3a) ^{2} =3c ^{2} +x ^{2}= x ^{2} +c ^{2} +2xc\cos \alpha

c ^{2} =xc\cos \alpha}\)


\(\displaystyle{ \frac{c}{x} = \cos \alpha}\)
Co może być prawdą tylko w sytuacji, gdy kąt BAC jest prosty, bowiem wynika to wprost z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym.

4.
Zaprezentowany dowód będzie dowodem przez zaprzeczenie

\(\displaystyle{ Z: n \in \mathbb{Z}

n+(n+1)+(n+2)+...+(n+1999)=a^{2}

T: a \in \mathbb{Z}

D: 1+2+...+1999=1000 \cdot 2000-1000=199000

2000n+199000=a^{2}

1000 \cdot (2n+199)=a^{2}

5 ^{3} \cdot 2 ^{3} \cdot (2n+199)=a^{2}

2n+199=2 \cdot 5 \cdot k ^{2}

k \in \mathbb{Z}}\)

Doszedłem do sprzeczności, bowiem liczba 2n+199 jest nieparzysta, czyli nie może być iloczynem liczby całkowitej i liczby 2. Założenie jest błędne:
\(\displaystyle{ a \notin \mathbb{Z}}\)
c.k.d.

5.

\(\displaystyle{ x ^{2} =y ^{2}

(x-k) ^{2} +y ^{2}=1


\left| x\right| = \left| y\right| \Rightarrow \x=y \ \vee \-x=y

(x-k) ^{2} +x ^{2}=1}\)

Mamy równanie kwadratowe z niewiadomą x i parametrem k. Zauważmy, że dla
\(\displaystyle{ x \neq 0}\)
ilość par (x,y) spełniających ten układ równań jest parzysta, bowiem dla każdego \(\displaystyle{ x \neq 0}\) istnieją dwie możliwe wartści y: x oraz -x. Jednak ilość par spełniających układ równań jest równa 3, więc \(\displaystyle{ x _{1} =0}\)
\(\displaystyle{ (0-k) ^{2} +0 ^{2} =1

k ^{2}=1

k=1 \vee k=-1}\)

Dla obu k obliczmy x i y:
\(\displaystyle{ 1. (x-1) ^{2} +x ^{2} =1

2 x^{2} -2x=0

x(x-1)=0

1a. x=1;y=1;

1b. x=1;y=-1;

1c. x=y=0;

2. (x+1) ^{2} +x ^{2}=1

2x ^{2}+2x=0

x(x+1)=0

2a. x=y=0;

2b.x=-1;y=1;

2c.x=y=-1;}\)

Istotnie, dla k=1 lub k=-1 mamy po trzy rozwiązania w liczbach rzeczywistych.
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

Kategoria I, 8 lipca 2009, 16:22

Post autor: Sylwek »

Oceny:

Zadanie 1 - 2
Zadanie 2 - 6
Zadanie 3 - brak
Zadanie 4 - 6
Zadanie 5 - 6

--

Komentarze:

Zadanie 1:
Dwójka za dryfowanie wokół dowodu (chociaż równie dobrze mogłoby być 0). Intuicja poprawna, brak odpowiedniego sformułowania myśli. Wystarczyło napisać "z zasady szufladkowej istnieje liczba, która jest iloczynem liczb pierwszych, wśród których każda jest nie mniejsza niż piętnasta (licząc od najmniejszej) liczba pierwsza, czyli jest ona \(\displaystyle{ \ge 47^2 = 2209}\) - sprzeczność". Slogany: "Zostało 13 ,,wolnych" liczb pierwszych mniejszych od 47" czy "Na 15 liczbę trzbe użyć 16-tej liczby pierwszej" nie powinny się w tej postaci znaleźć w dowodzie matematycznym.

Zadanie 2:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \left| EC\right| = \left|EB \right| =a}\)
Odwrotnie. Potem się poprawiłeś, dlatego zakładam na Twoją korzyść, że to była literówka. Rozpisuj z jakich trójkątów są te równości. Nagle 4x stosujesz twierdzenie cosinusów i sprawdzający musi się domyślać o co chodzi. Potem w jednej linijce wnosisz "podstawmy" i też nie wiadomo z której z tych czterech równości korzystasz. Końcówkę dowodu też powinieneś lepiej opisać.
Ostatnio zmieniony 14 lip 2009, o 20:46 przez Sylwek, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
scyth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Kategoria I, 8 lipca 2009, 16:22

Post autor: scyth »

Biorąc pod uwagę, że była to kategoria "gimnazjalista", proponuję pierwsze zadanie ocenić na dwa punkty. Poza tym OK.
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

Kategoria I, 8 lipca 2009, 16:22

Post autor: Sylwek »

OK.
ODPOWIEDZ