Kategoria II, 6 lipca 2009, 19:50

[Liga]

1. Zanim przejdę do rozwiązania zadania, wykażę lemat:
Jeżeli dla dowolnych funkcji zmiennych rzeczywistych \(\displaystyle{ f(x,y), g(x,y)}\) zachodzą wszystkie z poniższych trzech warunków:
\(\displaystyle{ f(x,y) \le 0}\)(1)
\(\displaystyle{ g(x,y) \le 0}\)(2)
\(\displaystyle{ f(x,y)+g(x,y) \ge 0}\)(3)
to:\(\displaystyle{ f(x,y)=g(x,y)=0}\)
Dowód lematu:
Sumując równości (1) i (2), mamy:
\(\displaystyle{ f(x,y)+g(x,y) \le 0}\)
Stąd i z (3):
\(\displaystyle{ f(x,y)+g(x,y)=0}\)(4) ,czyli:
\(\displaystyle{ f(x,y)=-g(x,y)}\)
Wstawiając tą równość do (1), mamy:
\(\displaystyle{ g(x,y) \ge 0}\)
Stąd i na mocy (2):
\(\displaystyle{ g(x,y)=0}\)
Zatem z (4) mamy:
\(\displaystyle{ f(x,y)=0}\), a więc:
\(\displaystyle{ f(x,y)=g(x,y)=0}\), c.n.d.
Wniosek z lematu: jeżeli mamy do rozwiązania układ dwóch nierówności słabych i je zsumujemy i jeżeli na mocy pewnej innej nierówności słabej wynika nierówność tej samej postaci, co po zsumowaniu poprzednich, lecz z przeciwnym znakiem nierówności słabej, to w danych nierównościach zachodzi równość.

Przejdźmy teraz do rozwiązania zadania.
\(\displaystyle{ \begin{cases} y^6+y^3+2x^2=\sqrt{xy-x^2y^2} (1)\\4xy^3+y^3+\frac{1}{2} \geq 2x^2+\sqrt{1+(2x-y)^2}(2)\end{cases}}\)
Ponieważ z własności funkcji kwadratowej maksimum funkcji:
\(\displaystyle{ f(t)=t-t^2}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\), gdy \(\displaystyle{ t=\frac{1}{2}}\) więc:
\(\displaystyle{ \sqrt{xy-x^{2}y^{2}} \le \sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}}\)(równość zachodzi, gdy\(\displaystyle{ xy=\frac{1}{2}}\)) ,zatem z (1):
\(\displaystyle{ y^{6}+y^{3}+2x^{2} \le \frac{1}{2}}\)(3)
Ponieważ \(\displaystyle{ a^2\ge 0}\), więc:\(\displaystyle{ \sqrt{1+(2x-y)^2} \ge \sqrt{1+0}=1}\), zatem z (2) mamy:
\(\displaystyle{ 4xy^3+y^3+\frac{1}{2} \geq 2x^2+\sqrt{1+(2x-y)^2} \ge 2x^2+1}\)(4) (równość w drugim przejściu zachodzi, gdy \(\displaystyle{ 2x-y=0}\))
Sumując (3) i (4), mamy:
\(\displaystyle{ y^6-4xy^3+4x^2 \le 0}\), czyli ze wzorów skróconego mnożenia:
\(\displaystyle{ (y^{3}-2x)^{2} \le 0}\), lecz oczywiście:\(\displaystyle{ (y^{3}-2x)^{2} \ge 0}\), zatem \(\displaystyle{ y^3=2x}\)(5) oraz na mocy wniosku z lematu w nierównościach (3) i (4) zachodzi równość, co oznacza tym samym, że:\(\displaystyle{ xy=\frac{1}{2}}\)(6) oraz \(\displaystyle{ 2x-y=0}\)(7).
Na mocy (5) i (7):
\(\displaystyle{ y^3=y}\), czyli:\(\displaystyle{ (y-1)(y+1)y=0}\), skąd:\(\displaystyle{ y=-1 \vee y=0 \vee y=1}\). Zauważmy, że z (6) wynika, że \(\displaystyle{ y \neq 0}\), stąd zostaje:\(\displaystyle{ y=-1 \vee y=1}\). Gdyby \(\displaystyle{ y=1}\), to \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}}\), lecz wtedy w równaniu (1) zaszłaby równość:\(\displaystyle{ \frac{5}{2}=\frac{1}{2}}\), co daje sprzeczność. Jeżeli \(\displaystyle{ y=-1}\), to \(\displaystyle{ x=-\frac{1}{2}}\) i wtedy, jak łatwo sprawdzić układ warunków z zadania jest spełniony.
Odp.\(\displaystyle{ x=-\frac{1}{2} \wedge y=-1}\)

2. Niech stop 1 będzie stopem, w którym stosunek miedzi do cynku wynosi 1:2, stop 2 stopem, w którym stosunek miedzi do cynku wynosi 3:5, zaś stop końcowy niech będzie stopem po zmieszaniu stopów 1 i 2, w którym stosunek miedzi do cynku wynosi 5:9
Oznaczmy:
\(\displaystyle{ m_{1}}\) -masa stopu 1
\(\displaystyle{ m_{2}}\) -masa stopu 2
\(\displaystyle{ m_{k}=m_{1}+m_{2}}\) -masa stopu końcowego
\(\displaystyle{ m_{m1}}\) -masa miedzi w stopie 1
\(\displaystyle{ m_{m2}}\) -masa miedzi w stopie 2
\(\displaystyle{ m_{mk}}\) -masa miedzi w stopie końcowym
\(\displaystyle{ c_{1}}\) - stosunek masy miedzi do masy stopu w stopie 1
\(\displaystyle{ c_{2}}\) - stosunek masy miedzi do masy stopu w stopie 2
\(\displaystyle{ c_{k}}\) - stosunek masy miedzi do masy stopu w stopie końcowym

Ponieważ stosunek masy miedzi do masy cynku w stopie 1 wynosi 1:2, więc stosunek masy miedzi do masy stopu 1 wynosi 1:3, czyli \(\displaystyle{ c_{1}=\frac{1}{3}}\).
Ponieważ stosunek masy miedzi do masy cynku w stopie 2 wynosi 3:5, więc stosunek masy miedzi do masy stopu 2 wynosi 3:8, czyli \(\displaystyle{ c_{2}=\frac{3}{8}}\).
Ponieważ stosunek masy miedzi do masy cynku w stopie końcowym wynosi 5:9, więc stosunek masy miedzi do masy stopu końcowego wynosi 5:14, czyli \(\displaystyle{ c_{k}=\frac{5}{14}}\).
Teraz zauważamy, że masa miedzi to nic innego jak iloczyn masy stopu i stosunku masy miedzi do masy stopu, czyli:
\(\displaystyle{ m_{m1}=m_{1} \cdot c_{1}}\)
\(\displaystyle{ m_{m2}=m_{2} \cdot c_{2}}\)
\(\displaystyle{ m_{mk}=m_{k} \cdot c_{k}=(m_{1}+m_{2}) \cdot c_{k}}\)
Ponadto suma mas miedzi w stopach przed zmieszaniem jest równa masie miedzi w otrzymanym stopie, czyli:
\(\displaystyle{ m_{m1}+m_{m2}=m_{mk}}\), a więc otrzymujemy równanie:
\(\displaystyle{ m_{1}c_{1}+m_{2}c_{2}=(m_{1}+m_{2})c_{k}}\)
\(\displaystyle{ m_{1}(c_{1}-c_{k})=m_{2}(c_{k}-c_{2})}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{c_{k}-c_{2}}{c_{1}-c_{k}}=\frac{\frac{5}{14}-\frac{3}{8}}{\frac{1}{3}-\frac{5}{14}}=\frac{\frac{-2}{8}}{\frac{-1}{3}}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}}\)

Odp. Stopy 1 i 2 należy zmieszać w stosunku 3:4.

3. Ponieważ \(\displaystyle{ u_{n+1}=2u_n +7}\), więc: \(\displaystyle{ u_{n+2}=2u_{n+1} +7}\).Odejmując te dwa równania stronami, mamy:
\(\displaystyle{ u_{n+2}-3u_{n+1}+2u_{n}=0}\)
Wobec powyższego równania rekurencyjnego równaniem charakterystycznym ciągu \(\displaystyle{ (u_n)}\) jest:
\(\displaystyle{ r^2-3r+2=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=9-4*2=1}\)
Stąd:\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} =1}\)
\(\displaystyle{ r_1=(3-1)/2=1, \ r_2=(3+1)/2=2}\)
Wzór ogólny ciągu \(\displaystyle{ (u_n)}\) ma więc postać:
\(\displaystyle{ u_n=Ar_{1}^{n}+Br_{2}^{n} =A* 1^{n}+B*2^{n}=A+2^{n}*B}\)
Z równania rekurencyjnego ciągu otrzymujemy:\(\displaystyle{ u_{2}=2u_{1}+7=2+7=9}\).
Zatem, korzystając z równania ogólnego:
\(\displaystyle{ u_1=A+2B=1}\)
\(\displaystyle{ u_2=A+4B=9}\)
Stąd otrzymujemy:\(\displaystyle{ A=-7, \B=4}\), zatem:
\(\displaystyle{ u_n=4*2^{n}-7}\)
Wykażę indukcyjnie, że powyższy wzór jest prawdziwy. Dla n=1 i n=2 wzór jest oczywiście prawdziwy.
Założenie indukcyjne:
\(\displaystyle{ u_{k}=4*2^{k}-7}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k \in N}\)
Teza indukcyjna:
\(\displaystyle{ u_{k+1}=4*2^{k+1}-7}\)
Dowód indukcyjny:
Ze wzoru rekurencyjnego mamy:
\(\displaystyle{ u_{k+1}=2u_{k}+7=2*(4*2^{k}-7)+7=8*2^{k}-14+7=4*2^{k+1}-7}\)
Stąd widać, że teza indukcyjna jest spełniona, czyli:
\(\displaystyle{ u_n=4*2^{n}-7}\), c.n.d.
Teraz znajdę największą liczbę naturalną \(\displaystyle{ n}\) taką, że \(\displaystyle{ u_{n}<9001}\). Ze wzoru ogólnego ciągu mamy:
\(\displaystyle{ 4*2^{n}-7<9001}\)
\(\displaystyle{ 4*2^{n}<9008}\)
Dzieląc obustronnie przez 4, mamy:
\(\displaystyle{ 2^{n}<2252}\)
Logarytmując, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ n<log_{2} 2252}\)
Lecz:\(\displaystyle{ 11,13<log_{2} 2252<11,14}\)
Zatem największą liczbą naturalną \(\displaystyle{ n}\) spełniającą nierówność jest 11.
4. Oczywiście:
\(\displaystyle{ |\Omega|=31^{25}}\), gdyż liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa 25-elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru 31-elementowego
a)Oznaczmy:
A-zdarzenie polegające na tym, że funkcja f jest rosnąca
Zauważmy, że w tym przypadku do zbioru wartości funkcji f nie zalicza się sześć różnych liczb. Liczba możliwych funkcji rosnących jest równa liczbie możliwych różnych ustawień tych sześciu liczb nie należących do zbioru wartości funkcji f, a liczba tych ustawień jest równa liczbie kombinacji 6-elementowych zbioru 31-elementowego. Stąd:
\(\displaystyle{ |A|= {31 \choose 6}}\)
Czyli:\(\displaystyle{ P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{{31 \choose 6}}{31^{25}}}\)
b)Oznaczmy:
\(\displaystyle{ B}\)-zdarzenie polegające na tym, że maksimum funkcji f wynosi 10
Podzielmy zdarzenie B na zdarzenia wykluczające się:
\(\displaystyle{ B_1}\)-zdarzenie polegające na tym, że 10 występuje tylko 1 raz i maksimum f wynosi 10
\(\displaystyle{ B_2}\)-zdarzenie polegające na tym, że 10 występuje tylko 2 razy i maksimum f wynosi 10
.
.
.
\(\displaystyle{ B_{25}}\)-zdarzenie polegające na tym, że 10 występuje tylko 25 razy i maksimum f wynosi 10
Aby obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ B_i, \ i \in \{1,2,...,25\}}\), zauważmy, że liczba różnych ustawień liczby 10 w wartościach funkcji wynosi \(\displaystyle{ {25 \choose i}}\), zaś pozostałe 9 liczb jako wartości funkcji f przy pozostałych argumentach funkcji może być ustawione na \(\displaystyle{ 9^{25-i}}\) sposobów, zatem:
\(\displaystyle{ |B_{i}|={25 \choose i}9^{25-i}}\)
\(\displaystyle{ P(B_{i})=\frac{|B_{i}|}{|\Omega|}=\frac{{25 \choose i}9^{25-i}}{31^{25}}}\)
Ponieważ zdarzenia \(\displaystyle{ B_1,B_2,...,B_{25}}\) wykluczają się, więc, korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń wykluczających się i ze wzoru Newtona, mamy:
\(\displaystyle{ P(B)= \sum_{1}^{25}P(B_{i})= \frac{\sum_{1}^{25} {25 \choose i}9^{25-i}}{31^{25}}=\frac{\sum_{0}^{25} {25 \choose i}9^{25-i}*1^{i}-9^{25}}{31^{25}}=\frac{(9+1)^{25}-9^{25}}{31^{25}}=\frac{10^{25}-9^{25}}{31^{25}}}\)
c)Oznaczmy:
\(\displaystyle{ C}\)-zdarzenie polegające na tym, że zbiór wartości funkcji f jest dwuelementowy
Zauważmy, że zdarzenie C możemy podzielić na wykluczające się zdarzenia \(\displaystyle{ C_{i,j}, \ i<j \ i,j \in \{1,2,...,31\}}\) takie, że zdarzenie \(\displaystyle{ C_{i,j}}\) oznacza, że \(\displaystyle{ ZW_{f}=\{i,j\}}\). Liczba wszystkich typów zdarzeń rodzaju \(\displaystyle{ C_{i,j}}\) jest równa \(\displaystyle{ {31 \choose 2}}\), ponadto każde zdarzenie typu \(\displaystyle{ C_{i,j}}\) są jednakowo prawdopodobne i wykluczają się, więc:
\(\displaystyle{ |C|={31 \choose 2}|C_{1,2}|}\)
Lecz liczba różnych ustawień 2 liczb na 25 miejscach z powtórzeniami jest równa liczbie 25-elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru 2-elementowego, więc:
\(\displaystyle{ |C_{1,2}|=2^{25}}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ |C|={31 \choose 2}2^{25}}\)
A więc:
\(\displaystyle{ P(C)=\frac{|C|}{| \Omega |}=\frac{{31 \choose 2}2^{25}}{31^{25}}}\)

5. Ponieważ:
\(\displaystyle{ f(x)+4f(\frac{1}{x})=3x}\)(1) dla \(\displaystyle{ x \neq 0}\)
więc również:
\(\displaystyle{ f(y)+4f(\frac{1}{y})=3y}\) dla \(\displaystyle{ y \neq 0}\)
Biorąc:\(\displaystyle{ y=\frac{1}{x}}\) w powyższym równaniu, mamy:
\(\displaystyle{ f(\frac{1}{x})+4f(x)=\frac{3}{x}}\)(2)
Mnożąc równanie (2) przez 4, mamy:
\(\displaystyle{ 4f(\frac{1}{x})+16f(x)=\frac{12}{x}}\)
Odejmując od tego równania równanie (1), otrzymamy:
\(\displaystyle{ 15f(x)=\frac{12}{x}-3x}\)
Po podzieleniu przez 15 znajdujemy:
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{4}{5x}-\frac{x}{5}}\)
Jak łatwo sprawdzić, powyższa funkcja spełnia równanie z zadania.

[Sylwek]

Oceny:

Zadanie 1 - 6
Zadanie 2 - 6
Zadanie 3 - 6
Zadanie 4 - 2
Zadanie 5 - 6

--

Komentarze:

Zadanie 3: Skoro ten wzór udowadniasz indukcyjnie, to cały trik z równaniem charakterystycznym jest zbędny. Po prostu pisz: "zauważam, że ... i to udowodnię indukcyjnie".

Zadanie 4: c) Zapomniałeś o dwóch funkcjach stałych.

[lukasz1804]

Zgadzam się ze wszystkimi ocenami.