Kategoria II, 4 lipca 2009, 13:00

[Liga]

Kategoria: II - Licealista

Przesyłam swoje rozwiązania zadań, mam nadzieję, że coś tam jest dobrze

zad. 1 Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{x(1-x)}}\). Jej pierwsza pochodna zeruje się w punkcie \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}}\), zaś \(\displaystyle{ f''(0,5)<0}\), stąd \(\displaystyle{ f(x) \le \frac{1}{2}}\). Otrzymujemy więc \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \ge \sqrt{xy(1-xy)} = y^6+y^3+2x^2}\).
Mamy \(\displaystyle{ \sqrt{1+(2x-y)^2} \ge \sqrt{1}=1}\), więc \(\displaystyle{ 4xy^3 +y^3 +\frac{1}{2} \ge 2x^2 + \sqrt{1+(2x-y)^2} \ge 2x^2 +1}\). Dodając stronami nierówności \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \ge y^6+y^3+2x^2}\) oraz \(\displaystyle{ 4xy^3 +y^3 \ge 2x^2 + \frac{1}{2}}\) , otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 4xy^3 \ge y^6 +4x^2 \Leftrightarrow 0 \ge(2x-y^3)^2 \Leftrightarrow 2x=y^3}\).

Podstawiając \(\displaystyle{ x=\frac{y^3}{2}}\) do pierwszego równania (\(\displaystyle{ \sqrt{xy(1-xy)} = y^6+y^3+2x^2}\)) i podnosząc je do kwadratu (pamiętając o tym, że wyrażenie pod pierwiastkiem musi być większe od 0) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 9y^{12}+12y^9+y^8+4y^6-2y^4=0 \Longleftrightarrow y^4(y+1)(9y^7-9y^6+9y^5+3y^4-2y^3+2y^2+2y-2)=0}\).

Wielomian \(\displaystyle{ 9y^7-9y^6+9y^5+3y^4-2y^3+2y^2+2y-2}\) ma tylko jeden pierwiastek (wystarczy narysować wykres), leży on w przedziale \(\displaystyle{ <0,5 ; 0,6>}\) (bo wartość wielomianu dla 0,5 jest mniejsza od zera, dla 0,6 większa). Pierwiastek ten nie spełnia założeń zadania, ponieważ wtedy: \(\displaystyle{ \frac{9}{10} \ge xy^3 +y^3 +\frac{1}{2} \ge 2x^2 +1 \ge 1}\)- sprzeczność.
Stąd \(\displaystyle{ y=0}\) lub \(\displaystyle{ y=-1}\). Po bezpośrednim sprawdzeniu otrzymujemy jedno rozwiązanie: \(\displaystyle{ y=-1, x=-\frac{1}{2}}\)


zad. 2
Oznaczmy:
Stop I: masa miedzi - x, masa cynku - 2x, łączna masa - 3x
Stop II: masa miedzi - 3y, masa cynku - 5y, łączna masa - 8y
Stop III (= Stop I+Stop II): masa miedzi - x+3y, masa cynku - 2x + 5y, stosunek miedzi do cynku: \(\displaystyle{ \frac{5}{9}=\frac{x+3y}{2x+5y}}\)
Szukany stosunek: \(\displaystyle{ \frac{masa \, stopu \, I}{masa \, stopu \, II}=\frac{3x}{8y}=?}\)
\(\displaystyle{ \frac{5}{9}=\frac{x+3y}{2x+5y} \Longleftrightarrow x=2y}\)
\(\displaystyle{ \frac{3x}{8y}=\frac{3 \cdot 2y}{8y}=\frac{3}{4}}\)
Odp.: Szukany stosunek wynosi 3 jednostki stopu I na 4 jednostki stopu II.

zad. 3 Udowodnimy indukcyjnie, że \(\displaystyle{ u_n=2^{n+2}-7}\):
-dla n=1:
\(\displaystyle{ u_1=8-7=1}\)
-zakładamy, że \(\displaystyle{ u_n=2^{n+2}-7}\) i udowadniamy, że wtedy \(\displaystyle{ u_{n+1}=2^{n+3}-7}\):
\(\displaystyle{ u_{n+1}=2u_n-7=2(2^{n+2}-7)+7=2^{n+3}-7}\)
co kończy dowód indukcyjny.

Równanie, które mamy rozwiązać, przybiera postać:
\(\displaystyle{ u_n=2^{n+2}-7<9001\Leftrightarrow n<log_2 2252 \Rightarrow n \le 11}\)
Jak łatwo zauważyć \(\displaystyle{ u_{11}=8185}\), zaś \(\displaystyle{ u_{12}=16 377}\)
więc poszukiwaną max. wartością n jest 11.

zad. 4
Ilość wszystkich funkcji \(\displaystyle{ f:\{1, 2, ..., 25 \} \mapsto \{1, ... , 31\}}\) to oczywiście \(\displaystyle{ 31^{25}}\).

a) aby otrzymać funkcję ściśle rosnącą, wystarczy wybrać dowolne 25 liczb ze zbioru \(\displaystyle{ \{1, ... , 31\}}\) i szeregujemy je od najmniejszej do największej. Wtedy najmniejsza z tych liczb jest f(1), druga w kolejności to f(2), itd. największa z tych liczb to f(25). Stąd ilośc funkcji rosnących to \(\displaystyle{ {31 \choose 25}}\), więc prawdopodobieńtwo wynosi:
\(\displaystyle{ P_a=\frac{{31 \choose 25}}{31^{25}} \approx \frac{736281}{1,9 \cdot 10^{37}} \approx 3,9 \cdot 10^{-32}}\)

b) jeżeli maksimum funkcji wynosi 10, to wszystkie wartości funkcji należą do zbioru \(\displaystyle{ \{1, 2, ..., 10 \}}\). Funkcji \(\displaystyle{ f:\{1, 2, ..., 25 \} \mapsto \{1, ... , 10\}}\) jest \(\displaystyle{ f_{10}=10^{25}}\). Ale nie wszystkie funkcje przybierają wartość 10 dla jednego lub więcej argumentów. Jeżeli 10 nie należy do przeciwdziedziny, to \(\displaystyle{ f:\{1, 2, ..., 25 \} \mapsto \{1, ... , 9\}}\), zaś takich funkcji jest \(\displaystyle{ f_9=9^{25}}\). Szukana ilość funkcji to \(\displaystyle{ f_{10}-f_9=10^{25}-9^{25}=}\)
więc prawdopodobieństwo wynosi:
\(\displaystyle{ P_b=\frac{10^{25}-9^{25}}{31^{25}}}\)

c) Wybieramy dwie liczby (nazwijmy je a oraz b), które będą należały do zbioru wartości tej funkcji, a następnie wybieramy czy f(1) jest równe a czy b, podobnie dla f(2), f(3) itd.
Stąd liczba takich funkcji to:
\(\displaystyle{ {31 \choose 2} \cdot 2^{25}}\)
a szukane prawdopodobieństwo wynosi
\(\displaystyle{ P_c=\frac{{31 \choose 2} \cdot 2^{25}}{31^{25}}}\)


zad. 5 Podstawiając \(\displaystyle{ x:=\frac{1}{x}}\):
\(\displaystyle{ f(\frac{1}{x})+4 f(x)=3 \frac{1}{x}}\)
Stąd otrzymujemy układ dwóch równań i dwóch zmiennych (f(x) oraz f(1/x)):
\(\displaystyle{ f(\frac{1}{x})+4 f(x)=\frac{3}{x}}\)
\(\displaystyle{ f(x)+4 f(\frac{1}{x})=3 x}\)
Z układu tego otrzymujemy:
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{4-x^2}{5x}}\)
Jak łatwo sprawdzić, funkcja ta spełnia warunki zadania.

[lukasz1804]

Oceny:
zadanie 1.: 2
zadanie 2.: 6
zadanie 3.: 6
zadanie 4.: 2
zadanie 5.: 6

Zadanie 1.

Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{x(1-x)}}\). Jej pierwsza pochodna zeruje się w punkcie \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}}\), zaś \(\displaystyle{ f''(0,5)<0}\), stąd \(\displaystyle{ f(x) \le \frac{1}{2}}\). (...)

Wielomian \(\displaystyle{ 9y^7-9y^6+9y^5+3y^4-2y^3+2y^2+2y-2}\) ma tylko jeden pierwiastek (wystarczy narysować wykres), leży on w przedziale \(\displaystyle{ <0,5 ; 0,6>}\) (bo wartość wielomianu dla 0,5 jest mniejsza od zera, dla 0,6 większa). (...)

Brak dokładnego objaśnienia nierówności \(\displaystyle{ f(x) \le \frac{1}{2}}\). Maksimum lokalne funkcji nie zawsze pokrywa się z wartością największą tej funkcji.
Należało sporządzić wykres wielomianu \(\displaystyle{ 9y^7-9y^6+9y^5+3y^4-2y^3+2y^2+2y-2}\) lub przeprowadzić inne rozumowanie.

Zadanie 4.

c) Wybieramy dwie liczby (nazwijmy je a oraz b), które będą należały do zbioru wartości tej funkcji, a następnie wybieramy czy f(1) jest równe a czy b, podobnie dla f(2), f(3) itd.
Stąd liczba takich funkcji to:
\(\displaystyle{ {31 \choose 2} \cdot 2^{25}}\)
a szukane prawdopodobieństwo wynosi
\(\displaystyle{ P_c=\frac{{31 \choose 2} \cdot 2^{25}}{31^{25}}}\).

Rozwiązanie nie przedstawia rozumowania, że funkcja f sprzyjajaca zdarzeniu nie może być stała.

[Sylwek]

Zgadzam się z ocenami. Jednak skomentuję zadanie 1.:

Brak dokładnego objaśnienia nierówności \(\displaystyle{ f(x) \le \frac{1}{2}}\). Maksimum lokalne funkcji nie zawsze pokrywa się z wartością największą tej funkcji.

Napisał, że pochodna zeruje się jedynie w tym punkcie oraz funkcja w otoczeniu x=0,5 jest wklęsła. Moim zdaniem to wystarcza (chociaż jeszcze mógłby dziedzinę ustalić i powiedzieć, że f jest ciągła).

Należało sporządzić wykres wielomianu \(\displaystyle{ 9y^7-9y^6+9y^5+3y^4-2y^3+2y^2+2y-2}\) lub przeprowadzić inne rozumowanie.

To prawda, ale nawet załączenie KAWAŁKA wykresu nie dowodzi, że gdzieś poza tym kawałkiem nie ma innych miejsc zerowych. Jakby dowiódł, że ten wielomian ma pierwiastki jedynie w przedziale \(\displaystyle{ (a,b)}\), np. a=0 i b=1, a następnie dołączył wykres tego wielomianu na tym przedziale, to by było OK. Dlatego 2.

OK?