Kategoria II, 4 lipca 2009, 12:01

[Liga]

zad.1
Niech para liczb \(\displaystyle{ (x,y)}\) będzie rozwiązaniem równania. Wtedy
\(\displaystyle{ 4xy^3 + y^3 + \frac{1}{2} \ge 2x^2 + \sqrt{1+(2x-y)^2} \ge 2x^2 + 1 \\ y^6+y^3+2x^2=\sqrt{xy-x^2y^2}=\sqrt{\frac{1}{4}-(\frac{1}{2}-xy)^2} \le \frac{1}{2}}\)
stąd po dodaniu nierówności mamy
\(\displaystyle{ 2x^2+1+y^6+y^3+2x^2 \le 4xy^3+y^3+\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ (2x-y^3)^2 \le 0}\)
czyli \(\displaystyle{ x=\frac{y^3}{2}}\) oraz wszystkie nierówności stają się równościami, bo \(\displaystyle{ (2x-y^3)^2\ge 0}\), czyli w ostatnim kroku zachodzi równość. Mamy zatem
\(\displaystyle{ 4\frac{y^3}{2}y^3 + y^3 + \frac{1}{2} = \frac{y^6}{2} +1}\)
czyli
\(\displaystyle{ 3y^6+2y^3-1=0}\)
\(\displaystyle{ (y^3+1)(3y^3-1)=0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=-1 \\ x=\frac{-1}{2} \end{cases} \quad \vee \quad \begin{cases} y=\sqrt[3]{\frac{1}{3}} \\ x=\frac{1}{6} \end{cases}}\)
Pierwsza para jest rozwiązaniem drugiego równania, zaś druga już nie. Ostatecznie otrzymujemy, że jedyną taką parą liczb jest \(\displaystyle{ (x,y)=(-\frac{1}{2}, -1)}\)

zad.2
\(\displaystyle{ x}\) - masa pierwszego stopu
\(\displaystyle{ y}\) - masa drugiego stopu
Trzeci stop zawiera zatem \(\displaystyle{ \frac{x}{3} + \frac{3}{8} y}\) miedzi oraz \(\displaystyle{ \frac{2}{3}x + \frac{5}{8}y}\) cynku. Aby metale były w stosunku \(\displaystyle{ 5:9}\) musi zachodzić
\(\displaystyle{ 9(\frac{x}{3} + \frac{3}{8} y) = 5( \frac{2}{3} x + \frac{5}{8} y)}\)
\(\displaystyle{ \frac{y}{4}=\frac{x}{3}}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{4}{3}x}\)
odp. drugiego stopu musi być \(\displaystyle{ \frac{4}{3}}\) razy więcej niż pierwszego.

zad.3
Udowodnimy indukcyjnie, że \(\displaystyle{ u_n=2^{n+3}-7}\). Dla \(\displaystyle{ n=1}\) jest to prawdziwe. Załóżmy, że jest to prawdziwe dla \(\displaystyle{ \mathbb{N} \ni k \ge 2}\). Wtedy, dla \(\displaystyle{ k+1}\) mamy \(\displaystyle{ u_{k+1}=2u_k+7 = 2( 2^{k+3} -7 ) +7= 2^{(k+1)+3}-7}\), więc na mocy zasady indukcji matematycznej jest to prawdą dla wszystkich liczb naturalnych. Przejdźmy teraz do sedna zadania.
\(\displaystyle{ 2^{n+3}-7<9001}\)
\(\displaystyle{ 2^{n+3} < 9008}\)
\(\displaystyle{ 2^n < 1126}\)
Zatem największą taką liczbą naturalną jest \(\displaystyle{ n_0=\left[ \log_{2} 1126 \right] =10}\)

odp. Największą taką liczbą jest \(\displaystyle{ 10}\).

zad.4
Wszystkich możliwych wyborów funkcji jest \(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=31^{25}}\). Będziemy obliczali zatem tylko liczbę zdarzeń sprzyjających.
a) Zauważmy, że każdy wybór zbioru \(\displaystyle{ 25}\) różnych liczb spośród \(\displaystyle{ 31}\) generuje nam taką funkcję, bo ustawiając te wybrane liczby w porządku rosnącym, na dokładnie jeden sposób jesteśmy w stanie przyporządkować te wartości argumentom tak, żeby otrzymać funkcję rosnącą. Odwrotnie każda taka rosnąca funkcja generuje \(\displaystyle{ 25}\)-elementowy zbiór wartości, zatem funkcja przyporządkowująca danej funkcji zbiór wartości jest bijekcją. Liczba wyboru takiego \(\displaystyle{ 25}\) elementowego zbioru jest równa oczywiście \(\displaystyle{ {31\choose 25 }}\)
b) Niech \(\displaystyle{ k=1,2,3,\ldots 25}\) spośród argumentów funkcji ma wartość \(\displaystyle{ 10}\). Wybieramy je na \(\displaystyle{ { 25 \choose k}}\) sposobów. Dla pozostałych \(\displaystyle{ 25-k}\) argumentów wybieramy wartość ze zbioru \(\displaystyle{ \{ 1,2,\ldots , 9\}}\). Wszystkich takich funkcji jest zatem
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{25} {25 \choose k} 9^{25-k} =\left( \sum_{k=0}^{25} {25 \choose k} 1^k \cdot 9^{25-k} \right) - 9^{25}= 10^{25}-9^{25}}\)
c) Na \(\displaystyle{ {25 \choose 2}}\) sposobów wybieramy zbiór wartości. Dla \(\displaystyle{ k=1,2,3,\ldots 24}\) wybieramy argumenty , dla których wartość funkcji jest równa pierwszej z dwóch wybranych na początku liczb na \(\displaystyle{ {25\choose k}}\) sposobów. W sumie takich funkcji jest zatem
\(\displaystyle{ {25 \choose 2} \sum_{k=1}^{24} {25 \choose k} = {25 \choose 2} \left( -{25 \choose 0} - {25 \choose 25} + \sum_{k=0}^{25} {25 \choose k} \right) = {25 \choose 2} ( 2^{25}-2)}\)

odp.
Prawdopodobieństwa wynoszą odpowiednio
a) \(\displaystyle{ \frac{{31\choose 25 }}{31^{25}}}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{10^{25}-9^{25}}{31^{25}}}\)
c) \(\displaystyle{ \frac{{25 \choose 2} ( 2^{25}-2)}{31^{25}}}\)

zad.5
Załóżmy, że istnieje taka funkcja \(\displaystyle{ f}\). Wtedy
Dla każdego \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R} \setminus \{ 0\}}\) mamy
\(\displaystyle{ (\star ) \qquad \qquad f(x)+4f\left( \frac{1}{x} \right) = 3x}\)
Podstawiając do \(\displaystyle{ (\star )}\) zamiast \(\displaystyle{ x}\) liczbę \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ ( \star \star ) \qquad \qquad f\left( \frac{1}{x} \right) + 4 \f(x)=\frac{3}{x}}\)
Dodając \(\displaystyle{ (\star )}\) i \(\displaystyle{ (\star \star )}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ (\star \star \star ) \qquad \qquad f(x)+ f\left( \frac{1}{x} \right) = \frac{3}{5} \left( x+ \frac{1}{x} \right)}\)
Łącząc \(\displaystyle{ (\star \star)}\) oraz \(\displaystyle{ (\star \star \star )}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ \frac{3}{x}=4f(x)+\frac{3}{5} \left( x+ \frac{1}{x} \right) - f(x)}\)
czyli
\(\displaystyle{ \boxed{f(x)=\frac{1}{x}-\frac{x}{5}-\frac{1}{5x}}}\)
Łatwo sprawdzamy, że ta funkcja spełnia warunki zadania.

[lukasz1804]

Oceny:
zadanie 1.: 6
zadanie 2.: 6
zadanie 3.: 5
zadanie 4.: 6
zadanie 5.: 6

Zadanie 3.

Udowodnimy indukcyjnie, że \(\displaystyle{ u_n=2^{n+3}-7}\). Dla \(\displaystyle{ n=1}\) jest to prawdziwe. Załóżmy, że jest to prawdziwe dla \(\displaystyle{ \mathbb{N} \ni k \ge 2}\). (...)
Zatem największą taką liczbą naturalną jest \(\displaystyle{ n_0=\left[ \log_{2} 1126 \right]=10}\)

odp. Największą taką liczbą jest \(\displaystyle{ 10}\).

Błędny wzór indukcyjny, nieprawdziwy już dla \(\displaystyle{ n=1}\), choć krok indukcyjny jest poprawny.

[Sylwek]

Zgadzam się ze wszystkimi ocenami.