Zbiory w topologii

[mol_ksiazkowy]

Zbiór X zwie sie przestzrenia, jego elementy - punktami, zaś jego podzbiory nalezace do wyroznionej rodziny- w sensie ponizszej definicji - zbiorami otwartymi. Rodzinę te zwie sie topologia na X. Na danym zbiorze X mozna na ogól określic wiele topologii, Jesli topologia \(\displaystyle{ \tau}\) na X jest ustalona to mowimy o przestrzeni topologiczneji oznaczamy ją po prostu X.
Def
\(\displaystyle{ (X,\tau)}\) tj pare złożoną z niepustego zbioru X i rodziny jego podzbiorów, która spełnia te trzy aksjomaty, zwiemy przestrzenią topologiczną
(1) \(\displaystyle{ \emptyset \tau}\) i \(\displaystyle{ X \tau}\)
(2) gdy \(\displaystyle{ U_1, U_2 \tau}\) to \(\displaystyle{ U_1 \cap U_2 \tau}\)
(3) Jesli \(\displaystyle{ U_i \tau}\) dla \(\displaystyle{ i I}\), to wtedy
\(\displaystyle{ \bigcup_{i I } U_i \tau}\),I - dowolny zbiór



Def
Zbiór domkniety F - jest to taki zbiór, że \(\displaystyle{ X \backslash F}\) jest otwarty, Rodzinę zbiorów domkniętych w przetrzeni \(\displaystyle{ (X,\tau)}\) oznaczamy \(\displaystyle{ D}\). Gdy \(\displaystyle{ A X}\) to rodzina \(\displaystyle{ O_{A} =\{ U X : U \tau , U A \}}\) i \(\displaystyle{ D_{A} =\{ F X : F D , A F \}}\). Okreslamy wnetrze zbioru A jako \(\displaystyle{ int(A) =\bigcup_{U O_{A}} U}\) i domknięcie zbioru A jako \(\displaystyle{ cl(A) =\bigcap_{F D_{A}} F}\) . Obie sa to operacje monotoniczne.

i mamy też:

\(\displaystyle{ int(A)= X \backslash cl(X \backslash A)}\)
\(\displaystyle{ A= X \backslash (X \backslash A)}\)
\(\displaystyle{ cl(A)= X \backslash (int(X \backslash A))}\)



Szczególne typy zbiorów
Mówimy , że zbior \(\displaystyle{ A}\) jest gęsty w \(\displaystyle{ X}\), gdy \(\displaystyle{ cl(A)=X}\). Takim jest np \(\displaystyle{ Q}\) w \(\displaystyle{ R}\) (w topologii naturalnej, ale np nie w dyskretnej). Zbiór gęsty \(\displaystyle{ A}\) ma te wlasnosc, ze \(\displaystyle{ A \cap U \emptyset}\), gdy \(\displaystyle{ U}\) jest otwarty i niepusty (tj zbior gęsty zahacza" o każdy zbior otwarty niespusty). Zachodzi taki fakt:

Jesli zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są otwarte i gęste to \(\displaystyle{ A \cap B}\) też jest gęsty

Mówimy, ze \(\displaystyle{ A}\) jest brzegowy, gdy \(\displaystyle{ int(A)= \emptyset}\). zaś zbiór A jest nigdziegęsty gdy \(\displaystyle{ int(cl(A))= \emptyset}\). Z monotoniczności operacji wnętrza każdy zbiór nigdziegęsty jest brzegowy , ale nie na odwrót np w \(\displaystyle{ R}\) z topologą naturalną \(\displaystyle{ Q}\) jest brzegowy, ale nie jest nigdziegęsty. Jeśli A jest brzegowy, to \(\displaystyle{ X \backslash A}\) jest gesty. Suma dwóch zbiorów brzegowych nie musi być zbiorem brzegowym (np \(\displaystyle{ Q}\) i \(\displaystyle{ IQ}\) w topologii naturalnej \(\displaystyle{ R}\)), ale:

Tw
Jeżeli zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są nigdziegęste, to zbiór \(\displaystyle{ A \cup B}\) jest nigdziegęsty.

Brzegiem zbioru A nazywamy zbiór \(\displaystyle{ cl(A) \cap (cl(X \backslash A))}\) lub równoważnie \(\displaystyle{ cl(A) \backslash int(A)}\) i oznaczamy \(\displaystyle{ Fr(A)}\), jego głowne własnosci sa ponizej, operacja Fr(A)- nie jest monotoniczna (bo np *), Łatwo widac, że zbiór jest brzegowy, wtw gdy \(\displaystyle{ A Fr(A)}\)

\(\displaystyle{ Fr(A \cap B) Fr(A) \cup Fr(B)}\)
\(\displaystyle{ Fr(A) =Fr(X \backslash A)}\)
\(\displaystyle{ cl(A)= A \cup Fr(A)}\)
*\(\displaystyle{ Fr(cl(A)) Fr(A)}\)


Pochodna zbioru
Mówimy, że \(\displaystyle{ x}\) jest punktem skupienia zbioru \(\displaystyle{ A}\), gdy \(\displaystyle{ x cl(A \backslash \{ x\})}\). Zbiór wszystkich punktów skupienia zbioru A oznaczamy \(\displaystyle{ A^d}\) i zwie się go pochodna zbioru A. Ma ona takie własności:

\(\displaystyle{ cl(A)=A \cup A^d}\)
Jesli \(\displaystyle{ A B}\) to \(\displaystyle{ A^d B^d}\)
\(\displaystyle{ (A \cup B)^d =A^d \cup B^d}\)
\(\displaystyle{ \bigcup A_i^d (\bigcup A_i )^d}\)



zbiór w sobie gęsty A, to taki, w którym każdy jego punkt jest punktem skupienia ,tj \(\displaystyle{ A A^d}\). np \(\displaystyle{ Q, (a,b)}\) lub \(\displaystyle{ }\) w R,Zbiór \(\displaystyle{ N}\) nie jest nigdziegesty (w R z topologia naturalna). Takze np zbiór \(\displaystyle{ \{-1\} \cup (0,1)}\) nie jest w sobie gęsty (-1 "odstaje"), etc. Zbiór który jest domknięty i w sobie gęsty zwiemy doskonałym.


I i II kategoria
Def
Mówimy, że zbiór \(\displaystyle{ A X}\) jest pierwszej kategorii, gdy jest sumą przeliczalnej ilości zbiorów nigdziegęstych. Zbiór, który nie jest pierwszej kategori nazywamy zbiorem drugiej kategorii.

W \(\displaystyle{ R}\) z topologia naturalną, zbiór \(\displaystyle{ Q}\) jest pierwszej kategorii, bo \(\displaystyle{ Q=\bigcup_{q Q} \{q \}}\), Zbiór \(\displaystyle{ IQ =R \backslash Q}\) jest zbiorem drugiej kategorii (w tejze topologii).


Sigma algebra a topologia
Def
Rodzinę \(\displaystyle{ S 2^X}\) nazywa się \(\displaystyle{ \sigma}\) algebra, gdy
1) \(\displaystyle{ \emptyset , X S}\)
2)Jeśli \(\displaystyle{ A_1, A_2,.... S}\) to \(\displaystyle{ \bigcup_{j=1}^{\infty} A_i S}\)
3) jeśli \(\displaystyle{ A S}\) to \(\displaystyle{ X \backslash A S}\)

Dla dowolnego \(\displaystyle{ X}\) rodziny \(\displaystyle{ \{ \emptyset, X\}}\) i \(\displaystyle{ 2^X}\) są \(\displaystyle{ \sigma}\)- algebrami. Topologia przestrzeni \(\displaystyle{ X}\) na ogól nie jest \(\displaystyle{ \sigma}\)- algebra, choć są topologie będące \(\displaystyle{ \sigma}\)- algerbami (np topologia dyskretna). Niech \(\displaystyle{ A 2^X}\) to dowolna rodzina zbiorów. Najmniejszym -w sensie inkluzji- \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebra zawierajaca \(\displaystyle{ A}\)- nazywa się \(\displaystyle{ \sigma}\)- algebrą generowana przez rodzinę \(\displaystyle{ A}\). Oznaczamy je \(\displaystyle{ S(A)}\). Gdy \(\displaystyle{ (X, \tau)}\) jest przestrzenia topologiczną, to \(\displaystyle{ B_{\tau}=S(\tau)}\) zwiemy rodziną zbiorów borelowskich. Jest to więc \(\displaystyle{ \sigma}\) algebra generowana przez rodzinę zbiorów otwartych w topologii \(\displaystyle{ \tau}\).

W rodzinie zbiorów borelowskich wyróznia się pewne klasy o wzrastającym stopniu komplikacji ich budowy, Najprostsze z nich są to zbiory otwarte i domknięte, ale nie wyczerpuja one wszystkiego, bo np iloczyn (suma) przeliczalnej ilosci zbiorów otwartych (domkniętych) nie musi być otwarty (domknięty).


Mówimy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest typu \(\displaystyle{ F_{\sigma}}\), jeśli jest sumą przeliczalnej ilości zbiorów domknietych (piszemy \(\displaystyle{ A F_{\sigma}}\)).
Mówimy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest typu \(\displaystyle{ G_{\delta}}\), jeśli jest iloczynem przeliczalnej ilości zbiorów otwartych (piszemy \(\displaystyle{ A G_{\delta}}\)). i dalej:

Mówimy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest typu \(\displaystyle{ F_{\sigma \delta}}\), jeśli jest iloczynem przeliczalnej ilości zbiorów typu \(\displaystyle{ F_{\sigma}}\).
Mówimy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest typu \(\displaystyle{ G_{\delta \sigma}}\), jeśli jest sumą przeliczalnej ilości zbiorów typu \(\displaystyle{ G_{\delta}}\)

etc...


Wszystkie zdefiniowane tak zbiory są borelowskie, tj mamy ciag inkluzji:

\(\displaystyle{ \tau G_{\delta} G_{\delta \sigma} G_{\delta \sigma \delta} .... B_{\tau}}\)
\(\displaystyle{ D F_{\sigma} F_{ \sigma \delta} F_{ \sigma \delta \sigma } .... B_{\tau}}\)


Przykład
Niech \(\displaystyle{ (X, \tau )}\) będzie przestrzenia z topologia dopełnień skończonych , (zbiór X jest nieprzeliczalny)., tj w topologii tej zbior otwarty jest postaci \(\displaystyle{ U= X \backslash A}\), gdzie \(\displaystyle{ A}\)- jest skończony, badz \(\displaystyle{ U=X}\) **. Wtedy \(\displaystyle{ F_{\sigma}}\) są to zbiory przeliczalne i \(\displaystyle{ X}\), zaś \(\displaystyle{ G_{\delta}}\) sa to zbiory o dopełnieniu przeliczalnym oraz \(\displaystyle{ \emptyset}\). A więc \(\displaystyle{ D F_{\sigma}}\) i \(\displaystyle{ \tau G_{\delta}}\). Rodzina \(\displaystyle{ S}\) zbiorów A, t ze \(\displaystyle{ A}\) lub \(\displaystyle{ X \backslash A}\) jest przeliczalny tworzy \(\displaystyle{ \sigma}\) algebrę, oraz \(\displaystyle{ \tau S}\), tj \(\displaystyle{ B_{\tau} S}\). Ale mamy też \(\displaystyle{ S=F_{\sigma} \cup G_{\delta}\subset B_{\tau}}\) czyli \(\displaystyle{ B_{\tau}=S}\). tj uzyskalismy:


\(\displaystyle{ \tau G_{\delta} = G_{\delta \sigma} = G_{\delta \sigma \delta} .... B_{\tau}}\)
\(\displaystyle{ D F_{\sigma} = F_{ \sigma \delta} = F_{ \sigma \delta \sigma } .... B_{\tau}}\)

**Uwaga: w topologii dopełnień skonczonych
\(\displaystyle{ int(A)=\begin{cases} A, \ X \backslash A \ jest \ skonczony \\ \emptyset, \ X \backslash A \ jest \ nieskonczony \end{cases}}\)
i
\(\displaystyle{ cl(A)=\begin{cases}A, \ gdy \A \ jest \ skonczony \\ X, \ A \ jest \ nieskonczony \end{cases}}\)