Jak uzywac ułamkow ?

[mol_ksiazkowy]

Ułamek to jest liczba, będaca ilorazem, tj wynikiem dzielenie dwóch liczb całkowitych. Tak wiec dzieląc p przez q , oznacza że p jest licznikiem, zas q mianownikiem tego ułamka u. Jesli liczby te sa wzglednie pierwsze, to taki ułamek zwie sie wtedy nie skracalnym, lub tez nieprzywiedlnym. W przypadki gdy p oraz q sa dodatnie to u takze, i w sztuacji gdy jest tak, ze licznik jest mniejsza liczba nizli mianownik, to mówi sie o ułamku właściwym, Oznacza to iż wyraza on liczbe mniejsza od jeden. Zapis mamy wiec taki

\(\displaystyle{ u=\frac{p}{q}}\)

Ulamki własciwe to np.
\(\displaystyle{ \frac{2}{9}}\)
\(\displaystyle{ \frac{113}{114}}\)
czy \(\displaystyle{ \frac{-4}{9}}\)
tu mamy \(\displaystyle{ u 0}\). Każda liczba niewymierna jest wartościa jednego ułamka łancuchowego nieskonczonego \(\displaystyle{ }\) Mówimy że \(\displaystyle{ R_k= }\) jest k-tym reduktem takiego ułamka (o ile jest on skonczony to tylko dla k=1, ...,n).

Prawo najlepszego przyblizania:
Jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest liczba rzeczywistą, \(\displaystyle{ R_k =\frac{a}{b} , \ b>0}\) k -tym reduktem jej rozwinięcia w ułamek łancuchowy zapisanym w formie ułamka nieskracalnego, \(\displaystyle{ \frac{p}{q} , \ q>0}\) dowolną l. wymierną, , dla której \(\displaystyle{ |x- \frac{p}{q}| b}\)



Przyklad
\(\displaystyle{ \sqrt{5}= 2+\frac{1}{4 + \frac{1}{4+ \frac{1}{4+ ...}}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{4}{\pi}= 1+\frac{1}{2 + \frac{9}{2+ \frac{25}{2+ ...}}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{12}{7}= 1+\frac{1}{1 + \frac{1}{2+ \frac{1}{2}}}= 1+\frac{1}{1 + \frac{1}{2+ \frac{1}{1+\frac{1}{1}}}}}\)



Idea
Zapiszmy \(\displaystyle{ (\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=1}\) co daje nam \(\displaystyle{ \sqrt{2}=1 + \frac{1}{\sqrt{2}+1}}\). Skoro jednak liczba \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) wystepuje po obu stronach tej ostatniej równosci, to mozemy ja podstawic i w ten sposob postepowac dowolnie długo...
Początków t. ułamków łańcuchowych można się dopatrzeć w pracach matemtyków starożytnych, (Euklides, Diofantos, Teon ). Scisłe określenie ułamków podał R. Bombelli w XVI wieku. Dziś teoria ułamków łańcuchowych jest obszerna dzidzina z licznymi zastosowaniami (aproksymacje diofantyczne, przyblizenia Padego), etc


Ciekawe przykłady
\(\displaystyle{ \frac{1}{81}=0,01234567...}\)
*\(\displaystyle{ \frac{5}{34}+ \frac{7}{68}+ \frac{9}{12}=1}\)
** \(\displaystyle{ \frac{\frac{2}{3}+ \frac{5}{8}+ \frac{8}{9}+ \frac{17}{18}+\frac{35} {36}}{\frac{1}{3}+ \frac{1}{6}+ \frac{1}{9}+ \frac{1}{18}+\frac{1}{36}}}\)
***\(\displaystyle{ \frac{5369}{3367}= \frac{59}{37}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{10}= \frac{1}{11}+ \frac{1}{210}+\frac{1}{231}}\)

* wszystkie cyfry buduja jedynke
** ulamek Tuwima
*** "niepoprawne" skracanie
etc,

Liczby kruszcowe jako ułamki łancuchowe
Liczba złota, "kanon harmoni" , Jest to pierwistek równania \(\displaystyle{ x^2-x-1=0}\) tj \(\displaystyle{ \phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2} =1,6180...}\). W postaci u. łancuchowego wyraza się samymi jedynkami, tj \(\displaystyle{ \phi = 1+\frac{1}{1 + \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ ...}}}}\)
Jest granica ilorazów kolejnych wyrazów ciagu Fibonacciego 0, 1, 1, 2, 3, 5, ...


Liczba srebrna, jest to pierwiastek równania \(\displaystyle{ x^3-x^2-1=0}\) i wynosi \(\displaystyle{ \psi_1= \frac{\sqrt[3]{19 + 3\sqrt{33}} + \sqrt[3]{19 - 3\sqrt{33}}}{3} 1,83926.....}\)
Jest to granica ilorazów kolejnych wyrazów ciągu Tribonacciego 0,0,1, 1,2, 4, 7,... tj

tj \(\displaystyle{ a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}}\)
badz tez
\(\displaystyle{ \psi_2=1+\sqrt{2}}\) tj \(\displaystyle{ \psi_2 = 2+\frac{1}{2 + \frac{1}{2+ \frac{1}{2+ ...}}}}\). Jest to granica ilorazów kolejnych wyrazów ciągu Pella zaczynajacego się: 0, 1 a dalej wg \(\displaystyle{ a_n=2a_{n-1}+a_{n-2}}\)



Liczba plastikowa, jest to pierwiastek równania \(\displaystyle{ x^3-x-1=0}\) i wynosi \(\displaystyle{ \psi1 1,83926.....}\) tj \(\displaystyle{ p = 1+\frac{1}{3 + \frac{1}{3+ \frac{1}{3+ ...}}}}\)
Jest to granica ilorazów kolejnych wyrazów ciągu Padovana zaczynajacego się: 1,1,2, a dalej \(\displaystyle{ a_n=a_{n-2}+a_{n-3}}\)

Uwaga: Temat bedzie w maire moznosci autora, czasu i inych ciekawych faktów nt ułamków rozbudowywany zapewne, Wszelkie uwagi własne pomysly prosze miło, przysłyac mi na priv info
cbdo