Automat

Archiwum kompendium.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Automat

Post autor: mol_ksiazkowy »

Nierówność Schwarza - jest jedna z wazniejszych i najczesciej uzywanych w dowodach, wielu twierdzen ...i dotyczy wektorów z przestrzeni, gdzie dany jest tzw. iloczyn skalarny, tj forma do mnożenia wektorów, z tym ze wynikiem jest liczba... Sposród kilku warunków, jakie ma spełniać to działanie, jest rozdzielność wzgledem dodawania.... , i dodatkowo przemienność. Wreszcie ządamy, aby kwadrat skalarny dowolnego wektora niezerowego był dodatni. I tak np gdy bedzie......


\(\displaystyle{ F=R^n, \ \beta = \sum_{j=1}^n \alpha_j \beta_j}\)
\(\displaystyle{ \alpha= (\alpha_1, ...._n)}\)
\(\displaystyle{ \beta= (\beta_1, ....\beta_n)}\)


Wreszciwe drugi modelowy przyklad, ...potrzebny jest on nam nam równiez w rozwiazaniu pewnego dość ciekawego zadania, o czym ponizej . W przestzreni funkcji ciąglych określonych na odcinku jednostkowym mozemy zaś sobie przyjąc, (i latwo można sie przekonać ze ta def jest poprawna, tj spelnia wymagane postulaty...), ze
\(\displaystyle{ fg = \int_{0}^1 f(x)g(x) dx}\)


Nierówność tą- , można sformułowac tak: dla dowolnych dwóch wektorów x, y przestrzeni z iloczynem skalarnym ma miejsce fakt moduł iloczynu skalarnego x i y jest nie wiekszy niż iloczyn ich długosci , co mozna zapisac jak niżej , uzywamy tutaj notacji xy, choć czasem używa sie innych ...np. pisze sie tez \(\displaystyle{ x y , \ }\)etc.

! (n.S.)
\(\displaystyle{ \ \ (xy)^2 \leq x^2 y^2}\)

Dowód
\(\displaystyle{ 0 \leq (x- \frac{xy}{y^2} y)^2 = x^2 -2x(\frac{xy}{y^2})y +\frac{(xy)^2}{y^4}y^2= x^2-2\frac{(xy)^2}{y^2}+\frac{(xy)^2}{y^2}=x^2-\frac{(xy)^2}{y^2}}\)

Uwaga:
Iloczyn skalarny pozwala określić normę wektora, czyli jego długość wg. \(\displaystyle{ ||x||=\sqrt{}}\) w ten sposób normujemy przestrzeń z il.s. Wtedy też ma miejsce prawo równoległoboku (*). W geometrii klasycznej jeżeli wektory są prostopadłe, to ich iloczyn skalarny jest równy 0. Zachodzi także zależność odwrotna: jeśli iloczyn skalarny dwu niezerowych wektorów jest równy zero, to są prostopadłe.

(*) \(\displaystyle{ 2( ||x||^2 + ||y||^2 )= ||x+y||^2 +||x-y||^2}\)


1. Wykaż ze dla dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x_j, \ y_j}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ (x_1y_1 +....+x_ny_n)^2 \leq (x_1^2 +.....x_n^2)(y_1^2 +.....y_n^2)}\)
2. Dowieść, że sposród równoległoscianów o danych długosciach boków, najwiekszą objetosc ma prostopadloscian.
3. Wykaz ze dla każdej funkcji f majacej ciagła pochodna na odcinku [0,1] i t. ze f(0)=f(1)=0 zachodzi :
\(\displaystyle{ |\int_{0}^1 f(x) dx|^2 \leq \frac{1}{12} \int_{0}^1 f^{\prime}(x) ^2 dx}\)

cw 1 i 2 dzieki n S. rozwiazuja sie od razu .Zajmiemy sie cw 3. ...scałkujemy lewą stronę przez części, biorąc we wzorze \(\displaystyle{ \int uv^\prime =uv - t u^\prime v}\) funkcje f jako u i f. x+c jako v;, stała c dobieramy pozniej. mamy:

\(\displaystyle{ \int_{0}^1 f(x) dx = \int_{0}^1 (x+c)^\prime f(x)=(x+c)f(x) |_0^1 - \int_{0}^1 (x+c)f^\prime(x) dx,}\)
tj.
\(\displaystyle{ |\int_{0}^1 f(x) dx| \leq \int_{0}^1 |x+c||f^\prime(x)| dx \leq \sqrt{\int_{0}^1 (x+c)^2 dx} \sqrt{\int_{0}^1 |f^\prime(x)|^2 dx}=\sqrt{\frac{(1+c)^3}{3} - \frac{c^3}{3}} \sqrt{\int_{0}^1 |f^\prime(x)|^2 dx}=\\= \sqrt{(c+\frac{1}{2})^2 +\frac{1}{12}} \sqrt{\int_{0}^1 f^\prime(x)^2 dx} }\)

Kładac \(\displaystyle{ c=-\frac{1}{2}}\), otrzymamy tezę. Pytanie: Dla jakich funkcji f wykazana nierówność nieostra zmienia się w równość..?przesledzic w tym celu dowod. Kiedy w n.S zachodzi równosc.?


4. Uogolnione tw Ptolemeusza Jeśli a, b, c, d są długosciami boków pewnego czworokąta, zaś e i f jego przekątnymi to wtedy jest :
\(\displaystyle{ ef \leq ac+bd}\)
Kiedy ma miejsce równosć....?
5. Niech będą dane dwa trójkąty \(\displaystyle{ T_1 \ \ i \ \ T_2}\) o bokach \(\displaystyle{ a_1, b_1, c_1}\) i \(\displaystyle{ \ a_2, b_2, c_2}\) odpowiednio.
a) udowodnij , ze istnieje trójkąt T o bokach długosci:
\(\displaystyle{ a=\frac{\sqrt{a_1^2+a_2^2}}{2}}\), \(\displaystyle{ b=\frac{\sqrt{b_1^2+b_2^2}}{2}}\), \(\displaystyle{ c=\frac{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}{2}}\)
b)Wykaż ze \(\displaystyle{ T_1 \ \ i \ \ T_2}\) są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy:
\(\displaystyle{ \sqrt{a_1a_2}+\sqrt{b_1b_2}+\sqrt{c_1c_2}=\sqrt{(a_1+b_1+c_1)(a_2+b_2+c_2)}}\)


zródło głowne: art z Delty
pt Co mamy wspolnego..?
Zablokowany