Matematyka.pl

no to równie dobrze mogę skorzystać z praw zawartych w temacie. O trochę inną "logikę" mi chodziło

Nie wytłumaczysz tego "życiową" logiką - musiałbyś mieć ujemną liczbę czegoś

Do operowania znakami liczb w różnego rodzaju zadaniach wystarczy LOGIKA.

Stad sie pytam co to za logika jest. Bo jeśli taka jaką Ty przedstawiasz to ten temat jest odpowiedni

formalny dowód logiczny:
Weżmy dwie liczby ujemne \(\displaystyle{ a, b}\)
Budujemy trzy zdania prawdziwe

\(\displaystyle{ p: a <0 \\
q: b<0 \\
r: ab >0}\)

Zachodzi implikacja prawdziwa:

\(\displaystyle{ (a <0) \wedge (b <0) \Rightarrow (ab >0) \quad \quad \quad (*)}\)

załóźmy jednak, że to nieprawda, czyli, że prawdziwa jest implikacja

\(\displaystyle{ (a <0) \wedge (b <0) \Rightarrow (ab <0)}\)

w logice to jest równoważne:

\(\displaystyle{ (a>0) \vee (b>0) \vee (ab <0)}\)

wzięliśmy dwie liczby ujemne a więc pierwsze dwa zdania są fałszywe. A zatem, żeby nasza alternatywa
pozostała prawdziwa musi być, że iloczyn dwóch liczb dodatnich jest ujemny.
To nie jest prawda . A zatem prawdziwa jest wyjściowa implikacja \(\displaystyle{ (*)\quad \blacksquare}\)

bartek118 pisze:Nie wytłumaczysz tego "życiową" logiką - musiałbyś mieć ujemną liczbę czegoś

W życiu, jak weźmiesz kredyt, to masz ujemną liczbę złotówek (w bilansie, oczywiście).

Ale żeby wyszło sensownie, to musiałbym mieć ujemną liczbę rat, żeby mnożyć dwie ujemne liczby

No nie. Raty są dodatnie, ilośc rat dodatnia, ale spłacając pomniejszasz kredyt

SidCom, wybacz, ale nie mogę pozostawić tego "dowodu" bez komentarza.

SidCom pisze: Budujemy trzy zdania prawdziwe

\(\displaystyle{ p: a <0 \\
q: b<0 \\
r: ab >0}\)

Wybacz, ale to trzecie zdanie to Twoja teza. Jak już na samym początku piszesz, że jest prawdziwa ot tak, no to coś jest nie tak, nieprawdaż? Zakładasz tezę, a potem jej dowodzisz. Bez sensu...

Zachodzi implikacja prawdziwa:
\(\displaystyle{ (a <0) \wedge (b <0) \Rightarrow (ab >0) \quad \quad \quad (*)}\)

Znowu zakładamy tezę. Uwagi te same co wyżej.

załóźmy jednak, że to nieprawda, czyli, że prawdziwa jest implikacja
\(\displaystyle{ (a <0) \wedge (b <0) \Rightarrow (ab <0) \quad \quad \quad}\)(**)

Tutaj moje uwagi są następujące. Po pierwsze zaczynałeś dowód pisząc, że teza jest prawdą, teraz zakładasz, że jednak nie jest prawdziwa. Zdecyduj się. Ja rozumiem, że w Twoim zamyśle był dowód nie wprost, ale redakcja tego jest nie do przyjęcia. Poza tym teraz inna uwaga, bardziej merytoryczna. Zakładasz nieprawdziwość tezy, to znaczy implikacji \(\displaystyle{ (*)}\) i piszesz że wówczas musi być prawdziwa inna implikacja, pozwoliłem sobie nazwać ją \(\displaystyle{ (**)}\). Otóż implikacja \(\displaystyle{ (**)}\) nie jest zaprzeczeniem implikacji \(\displaystyle{ (*)}\). Zaprzeczenie implikacji \(\displaystyle{ p \Rightarrow q}\) to \(\displaystyle{ \neg p \wedge q}\), a to bardzo łatwo sprawdzić nie jest równoważne zdaniu \(\displaystyle{ p \Rightarrow \neg q}\). Tutaj mamy błąd merytoryczny, który dyskwalifikuje "dowód".

w logice to jest równoważne:

\(\displaystyle{ (a>0) \vee (b>0) \vee (ab <0)}\)

Nieprawda. To nie jest równoważne. Zaprzeczeniem zdania \(\displaystyle{ a<0}\) jest zdanie \(\displaystyle{ a \ge 0}\). Tutaj oczywiście możesz bronić się, że \(\displaystyle{ a}\) z założenia było ujemne, ale to bez znaczenia biorąc pod uwagę to co napisałem wyżej. To samo jest też wyżej, ale o tym nie wspomniałem. Zaprzeczeniem zdania \(\displaystyle{ ab>0}\) nie jest \(\displaystyle{ ab<0}\). Znów możemy się kłócić, że \(\displaystyle{ a,b}\) były ujemne, ale żeby napisać to co Ty napisałeś, trzeba by wykazać, że dla ujemnych \(\displaystyle{ a,b}\) prawdą jest że \(\displaystyle{ ab \neq 0}\). Dowodu niestety nie widzę. I mniemam iż formalny dowód tego faktu od aksjomatów wcale nie jest sprawą prostą.

Podsumowując: do niczego.

bakala12, nie. Zakładam, że jest prawdziwa, a potem udowadniam, że jej zaprzeczenie jest fałszywe...

ps. kłócić się na tym forum nie zamierzam. Nie po to tu dołączyłem. Dzięki za post. Przemyślę to.

SidCom, ja widzę inną skazę.

Skoro chcesz udowodnić, że implikacja jest prawdziwa, to jej zaprzeczenie wygląda nieco inaczej. Zapominasz również o przypadku \(\displaystyle{ ab=0}\), choć to istotne tak bardzo nie jest.

Kłócą się chyba tylko Ci, którzy tego szukają. Lepiej pewne sprawy przemyśleć i znaleźć błędy swoje/innych, niż prowadzić wojnę.



Moje dodatkowe dwa grosze.

Grosz nr 1.

Wersja algebraiczna wykorzystująca zwykłe własności ciała liczb rzeczywistych.

\(\displaystyle{ (-1)(-1)+1\cdot (-1)=(-1)(1+(-1))=(-1)\cdot 0=0}\)

skąd

\(\displaystyle{ (-1)(-1)=1}\)

i łatwo to przenieść na dowolne liczby ujemne.

Grosz nr 2.

Intuicja, o której parę osób wspominało.

Jak spłacasz raty, pieniędzy Ci ubywa. Ale jak zabiorą Ci dwie raty (promocja), to zyskujesz. Dwa minusy = plus.

Rzeczywiście popełniłem błąd.
Zaprzeczeniem implikacji:

\(\displaystyle{ (a <0) \wedge (b <0) \Rightarrow (ab >0) \quad \quad \quad (*)}\)

jest koniunkcja :

\(\displaystyle{ (a<0) \wedge (b < 0) \wedge (ab < 0)}\)

Nieprawda. \(\displaystyle{ (a<0) \wedge (b < 0) \wedge (ab \le 0)}\)

Zgadza się. Ściśle rzecz biorąc tak jest.

Uzasadnienie dlaczego iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią można znaleźć w analizie liczb zespolonych.
Można wykazać że: \(\displaystyle{ \ a \cdot b = (-a) \cdot (-b)}\)
Korzystając z równania:
\(\displaystyle{ c = a \cdot b + (-a) \cdot b + (-a) \cdot (-b)}\)
można pokazać że \(\displaystyle{ \ c=a \cdot b}\) i \(\displaystyle{ \ c=(-a) \cdot (-b)}\)

Czynnik -a przed nawias:
\(\displaystyle{ c = a \cdot b +{\blue (-a) \cdot b + (-a) \cdot (-b)}}\)
\(\displaystyle{ c = a \cdot b + {\blue (-a) \cdot [b + (-b)]}}\)
Z uwagi na: \(\displaystyle{ \ (+b)+(-b)=0}\)
mamy: \(\displaystyle{ \ c= a \cdot b + {\blue (-a) \cdot 0}}\)
\(\displaystyle{ \ c= a \cdot b}\)

Czynnik b przed nawias:
\(\displaystyle{ c ={\blue a \cdot b + (-a) \cdot b} + (-a) \cdot (-b)}\)
\(\displaystyle{ c ={\blue b \cdot [a + (-a)]} + (-a) \cdot (-b)}\)
\(\displaystyle{ c ={\blue b \cdot 0 } + (-a) \cdot (-b)}\)
\(\displaystyle{ c = (-a) \cdot (-b)}\)

No ok, ok... Ale po co dowodzić takie rzeczy?