Kolorem czerwonym zaznaczono operator arytmetyczny - np. dodawania, odejmowania, mnożenia.
Kolorem niebieskim zaznaczono liczbę, literki oznaczające liczbę oraz znak liczby
Założenie:
\(\displaystyle{ {\blue a,b,c}}\) oznaczają liczby rzeczywiste.
Jeżeli \(\displaystyle{ {\blue a}}\) jest liczbą rzeczywistą odmienną od zera, to:
\(\displaystyle{ {\blue +a}}\) jest liczbą dodatnią \(\displaystyle{ {\blue +a} > {\blue 0}}\)
\(\displaystyle{ {\blue -a}}\) jest liczbą ujemną \(\displaystyle{ {\blue -a} < {\blue 0}}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ {\blue a} = {\blue 0} \ to \ {\blue +a} ={\blue -a} = {\blue 0}}\)
Prawo znaków:
\(\displaystyle{ {\red +}{\blue (+a)} ={\blue +a} ={\blue a}}\)
\(\displaystyle{ {\red -}{\blue (-a)} ={\blue +a} ={\blue a}}\)
\(\displaystyle{ {\red +}{\blue (-a)} ={\blue -a}}\)
\(\displaystyle{ {\red -}{\blue (+a)} ={\blue -a}}\)
Dodawanie i odejmowanie:
\(\displaystyle{ {\blue (+a)}{\red +}{\blue (+b)}={\blue +(a}{\red +}{\blue b)}}\)
- przykład:
\(\displaystyle{ {\blue (+7)}{\red +}{\blue (+5)}={\blue +(7}{\red +}{\blue 5)}={\blue 12}}\)
\(\displaystyle{ {\blue (-a)}{\red +}{\blue (-b)}={\blue -(a}{\red +}{\blue b)}}\)
- przykład:
\(\displaystyle{ {\blue (-7)}{\red +}{\blue (-5)}={\blue -(7}{\red +}{\blue 5)}={\blue -12}}\)
\(\displaystyle{ {\blue (+a)}{\red +}{\blue (-b)}={\blue +(a}{\red -}{\blue b)}}\) gdy \(\displaystyle{ {\blue a}>{\blue b}}\)
\(\displaystyle{ {\blue (-b)}{\red +}{\blue (+a)}={\blue +(a}{\red -}{\blue b)}}\) gdy \(\displaystyle{ {\blue a}>{\blue b}}\)
- przykład:
\(\displaystyle{ {\blue (+7)}{\red +}{\blue (-5)}={\blue +(7}{\red -}{\blue 5)}={\blue 2}}\)
\(\displaystyle{ {\blue (+a)}{\red +}{\blue (-b)}={\blue -(b}{\red -}{\blue a)}}\) gdy \(\displaystyle{ {\blue a}<{\blue b}}\)
\(\displaystyle{ {\blue (-b)}{\red +}{\blue (+a)}={\blue -(b}{\red -}{\blue a)}}\) gdy \(\displaystyle{ {\blue a}<{\blue b}}\)
- przykład:
\(\displaystyle{ {\blue (+5)}{\red +}{\blue (-7)}={\blue -(7}{\red -}{\blue 5)}={\blue -2}}\)
\(\displaystyle{ {\blue (+a)}{\red +}{\blue (-a)}={\blue 0}}\)
- przykład:
\(\displaystyle{ {\blue (+5)}{\red +}{\blue (-5)}={\blue 0}}\)
\(\displaystyle{ {\blue (-a)}{\red +}{\blue (+a)}={\blue 0}}\)
\(\displaystyle{ {\blue (+a)}{\red +}{\blue 0}={\blue +a}}\)
- przykład:
\(\displaystyle{ {\blue (+5)}{\red +}{\blue 0}={\blue +5}={\blue 5}}\)
\(\displaystyle{ {\blue (-a)}{\red +}{\blue 0}={\blue -a}}\)
- przykład:
\(\displaystyle{ {\blue (-5)}{\red +}{\blue 0}={\blue -5}}\)
Analogicznie jest dla odejmowania, poniżej porównanie dodawania i odejmowania:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{cc}
Dodawanie & Odejmowanie \\
{\blue +5}{\red +}{\blue (+3)}={\blue +5}{\red +}{\blue 3}={\blue +8} & {\blue +5}{\red -}{\blue (-3)}={\blue +5}{\red +}{\blue 3}={\blue +8} \\
{\blue +5}{\red +}{\blue (-3)}={\blue +5}{\red -}{\blue 3}={\blue +2} & {\blue +5}{\red -}{\blue (+3)}={\blue +5}{\red -}{\blue 3}={\blue +2} \\
{\blue -5}{\red +}{\blue (+3)}={\blue -5}{\red +}{\blue 3}={\blue -2} & {\blue -5}{\red -}{\blue (-3)}={\blue -5}{\red +}{\blue 3}={\blue -2} \\
{\blue -5}{\red +}{\blue (-3)}={\blue -5}{\red -}{\blue 3}={\blue -8} & {\blue -5}{\red -}{\blue (+3)}={\blue -5}{\red -}{\blue 3}={\blue -8} \\
\end{tabular}}\)
Mnożenie i dzielenie:
\(\displaystyle{ {\blue (+a)}{\red \cdot }{\blue (+b)}={\blue +(a}{\red \cdot }{\blue b)}}\)
- przykład:
\(\displaystyle{ {\blue (+5)}{\red \cdot }{\blue (+7)}={\blue +(5}{\red \cdot }{\blue 7)}={\blue 35}}\)
\(\displaystyle{ {\blue (-a)}{\red \cdot }{\blue (-b)}={\blue +(a}{\red \cdot }{\blue b)}}\)
- przykład:
\(\displaystyle{ {\blue (-5)}{\red \cdot }{\blue (-7)}={\blue +(5}{\red \cdot }{\blue 7)}={\blue 35}}\)
\(\displaystyle{ {\blue (+a)}{\red \cdot }{\blue (-b)}={\blue -(a}{\red \cdot }{\blue b)}}\)
\(\displaystyle{ {\blue (-a)}{\red \cdot }{\blue (+b)}={\blue -(a}{\red \cdot }{\blue b)}}\)
- przykład:
\(\displaystyle{ {\blue (+5)}{\red \cdot }{\blue (-7)}={\blue -(5}{\red \cdot }{\blue 7)}={\blue -35}}\)
\(\displaystyle{ {\blue 1}{\red \cdot }{\blue(+a)}={\blue +a }}\)
\(\displaystyle{ {\blue 1}{\red \cdot }{\blue(-a)}={\blue -a }}\)
\(\displaystyle{ {\blue 0}{\red \cdot }{\blue(+a)}={\blue 0 }}\)
\(\displaystyle{ {\blue 0}{\red \cdot }{\blue(-a)}={\blue 0 }}\)
Skoro \(\displaystyle{ {\blue (+a)}{\red \cdot }{\blue (+b)}={\blue +ab}}\) to \(\displaystyle{ \frac{{\blue +ab}}{{\blue (+a)}}={\blue (+b)}}\)
Skoro \(\displaystyle{ {\blue (-a)}{\red \cdot }{\blue (-b)}={\blue +ab}}\) to \(\displaystyle{ \frac{{\blue +ab}}{{\blue (-a)}}={\blue (-b)}}\)
Skoro \(\displaystyle{ {\blue (+a)}{\red \cdot }{\blue (-b)}={\blue -ab}}\) to \(\displaystyle{ \frac{{\blue -ab}}{{\blue (+a)}}={\blue (-b)}}\)
Skoro \(\displaystyle{ {\blue (-a)}{\red \cdot }{\blue (+b)}={\blue -ab}}\) to \(\displaystyle{ \frac{{\blue -ab}}{{\blue (-a)}}={\blue (+b)}}\)
Nawiasy
Dla liczb dodatnich:
\(\displaystyle{ a+(b+c)=a+b+c \\
a+(b-c)=a+b-c \\
a-(b+c)=a-b-c \\
a-(b-c)=a-b+c \\
a(b+c)=ab+ac \\
a(b-c)=ab-ac}\)
Nawiasy poprzedzone znakiem „+" mogą zostać opuszczone bez zmiany znaków wyrazów znajdujących się w tym nawiasie. Natomiast jeśli przed nawiasem jest znak minus, wówczas zmieniamy znak wszystkich wyrazów znajdujących się w tym nawiasie na przeciwny. Podobnie postępujemy dla liczb ujemnych.
Przykłady:
\(\displaystyle{ a-(b-[c-(d-e)-f]) \\
=a-(b-[c-d+e-f]) \\
=a-(b-c+d-e+f) \\
=a-b+c-d+e-f}\)
\(\displaystyle{ 7xy-(5y \cdot (3z-(3x+z))) \\
=7xy-(5y \cdot (3z-3x-z)) \\
=7xy-(5y \cdot (2z-3x)) \\
=7xy-(10yz-15xy) \\
=22xy-10yz}\)