Plus i Minus (archiwizacja 18 stycznia)

Archiwum kompendium.
Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 736
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 58 razy
Pomógł: 233 razy

Plus i Minus (archiwizacja 18 stycznia)

Post autor: Elayne » 1 sty 2015, o 09:34

Plus i Minus
Legenda:
Kolorem czerwonym zaznaczono operator arytmetyczny - np. dodawania, odejmowania, mnożenia.
Kolorem niebieskim zaznaczono liczbę, literki oznaczające liczbę oraz znak liczby

Założenie:
\(\displaystyle{ {\blue a,b,c}}\) oznaczają liczby rzeczywiste.
Jeżeli \(\displaystyle{ {\blue a}}\) jest liczbą rzeczywistą odmienną od zera, to:
\(\displaystyle{ {\blue +a}}\) jest liczbą dodatnią \(\displaystyle{ {\blue +a} > {\blue 0}}\)
\(\displaystyle{ {\blue -a}}\) jest liczbą ujemną \(\displaystyle{ {\blue -a} < {\blue 0}}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ {\blue a} = {\blue 0} \ to \ {\blue +a} ={\blue -a} = {\blue 0}}\)

Prawo znaków:

\(\displaystyle{ {\red +}{\blue (+a)} ={\blue +a} ={\blue a}}\)
\(\displaystyle{ {\red -}{\blue (-a)} ={\blue +a} ={\blue a}}\)
\(\displaystyle{ {\red +}{\blue (-a)} ={\blue -a}}\)
\(\displaystyle{ {\red -}{\blue (+a)} ={\blue -a}}\)

Dodawanie i odejmowanie:

\(\displaystyle{ {\blue (+a)}{\red +}{\blue (+b)}={\blue +(a}{\red +}{\blue b)}}\)
- przykład:
\(\displaystyle{ {\blue (+7)}{\red +}{\blue (+5)}={\blue +(7}{\red +}{\blue 5)}={\blue 12}}\)

\(\displaystyle{ {\blue (-a)}{\red +}{\blue (-b)}={\blue -(a}{\red +}{\blue b)}}\)
- przykład:
\(\displaystyle{ {\blue (-7)}{\red +}{\blue (-5)}={\blue -(7}{\red +}{\blue 5)}={\blue -12}}\)

\(\displaystyle{ {\blue (+a)}{\red +}{\blue (-b)}={\blue +(a}{\red -}{\blue b)}}\) gdy \(\displaystyle{ {\blue a}>{\blue b}}\)
\(\displaystyle{ {\blue (-b)}{\red +}{\blue (+a)}={\blue +(a}{\red -}{\blue b)}}\) gdy \(\displaystyle{ {\blue a}>{\blue b}}\)
- przykład:
\(\displaystyle{ {\blue (+7)}{\red +}{\blue (-5)}={\blue +(7}{\red -}{\blue 5)}={\blue 2}}\)

\(\displaystyle{ {\blue (+a)}{\red +}{\blue (-b)}={\blue -(b}{\red -}{\blue a)}}\) gdy \(\displaystyle{ {\blue a}<{\blue b}}\)
\(\displaystyle{ {\blue (-b)}{\red +}{\blue (+a)}={\blue -(b}{\red -}{\blue a)}}\) gdy \(\displaystyle{ {\blue a}<{\blue b}}\)
- przykład:
\(\displaystyle{ {\blue (+5)}{\red +}{\blue (-7)}={\blue -(7}{\red -}{\blue 5)}={\blue -2}}\)

\(\displaystyle{ {\blue (+a)}{\red +}{\blue (-a)}={\blue 0}}\)
- przykład:
\(\displaystyle{ {\blue (+5)}{\red +}{\blue (-5)}={\blue 0}}\)

\(\displaystyle{ {\blue (-a)}{\red +}{\blue (+a)}={\blue 0}}\)
\(\displaystyle{ {\blue (+a)}{\red +}{\blue 0}={\blue +a}}\)
- przykład:
\(\displaystyle{ {\blue (+5)}{\red +}{\blue 0}={\blue +5}={\blue 5}}\)

\(\displaystyle{ {\blue (-a)}{\red +}{\blue 0}={\blue -a}}\)
- przykład:
\(\displaystyle{ {\blue (-5)}{\red +}{\blue 0}={\blue -5}}\)

Analogicznie jest dla odejmowania, poniżej porównanie dodawania i odejmowania:

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{cc} Dodawanie & Odejmowanie \\ {\blue +5}{\red +}{\blue (+3)}={\blue +5}{\red +}{\blue 3}={\blue +8} & {\blue +5}{\red -}{\blue (-3)}={\blue +5}{\red +}{\blue 3}={\blue +8} \\ {\blue +5}{\red +}{\blue (-3)}={\blue +5}{\red -}{\blue 3}={\blue +2} & {\blue +5}{\red -}{\blue (+3)}={\blue +5}{\red -}{\blue 3}={\blue +2} \\ {\blue -5}{\red +}{\blue (+3)}={\blue -5}{\red +}{\blue 3}={\blue -2} & {\blue -5}{\red -}{\blue (-3)}={\blue -5}{\red +}{\blue 3}={\blue -2} \\ {\blue -5}{\red +}{\blue (-3)}={\blue -5}{\red -}{\blue 3}={\blue -8} & {\blue -5}{\red -}{\blue (+3)}={\blue -5}{\red -}{\blue 3}={\blue -8} \\ \end{tabular}}\)

Mnożenie i dzielenie:

\(\displaystyle{ {\blue (+a)}{\red \cdot }{\blue (+b)}={\blue +(a}{\red \cdot }{\blue b)}}\)
- przykład:
\(\displaystyle{ {\blue (+5)}{\red \cdot }{\blue (+7)}={\blue +(5}{\red \cdot }{\blue 7)}={\blue 35}}\)

\(\displaystyle{ {\blue (-a)}{\red \cdot }{\blue (-b)}={\blue +(a}{\red \cdot }{\blue b)}}\)
- przykład:
\(\displaystyle{ {\blue (-5)}{\red \cdot }{\blue (-7)}={\blue +(5}{\red \cdot }{\blue 7)}={\blue 35}}\)

\(\displaystyle{ {\blue (+a)}{\red \cdot }{\blue (-b)}={\blue -(a}{\red \cdot }{\blue b)}}\)
\(\displaystyle{ {\blue (-a)}{\red \cdot }{\blue (+b)}={\blue -(a}{\red \cdot }{\blue b)}}\)
- przykład:
\(\displaystyle{ {\blue (+5)}{\red \cdot }{\blue (-7)}={\blue -(5}{\red \cdot }{\blue 7)}={\blue -35}}\)

\(\displaystyle{ {\blue 1}{\red \cdot }{\blue(+a)}={\blue +a }}\)
\(\displaystyle{ {\blue 1}{\red \cdot }{\blue(-a)}={\blue -a }}\)
\(\displaystyle{ {\blue 0}{\red \cdot }{\blue(+a)}={\blue 0 }}\)
\(\displaystyle{ {\blue 0}{\red \cdot }{\blue(-a)}={\blue 0 }}\)

Skoro \(\displaystyle{ {\blue (+a)}{\red \cdot }{\blue (+b)}={\blue +ab}}\) to \(\displaystyle{ \frac{{\blue +ab}}{{\blue (+a)}}={\blue (+b)}}\)

Skoro \(\displaystyle{ {\blue (-a)}{\red \cdot }{\blue (-b)}={\blue +ab}}\) to \(\displaystyle{ \frac{{\blue +ab}}{{\blue (-a)}}={\blue (-b)}}\)

Skoro \(\displaystyle{ {\blue (+a)}{\red \cdot }{\blue (-b)}={\blue -ab}}\) to \(\displaystyle{ \frac{{\blue -ab}}{{\blue (+a)}}={\blue (-b)}}\)

Skoro \(\displaystyle{ {\blue (-a)}{\red \cdot }{\blue (+b)}={\blue -ab}}\) to \(\displaystyle{ \frac{{\blue -ab}}{{\blue (-a)}}={\blue (+b)}}\)

Nawiasy

Dla liczb dodatnich:
\(\displaystyle{ a+(b+c)=a+b+c \\ a+(b-c)=a+b-c \\ a-(b+c)=a-b-c \\ a-(b-c)=a-b+c \\ a(b+c)=ab+ac \\ a(b-c)=ab-ac}\)
Nawiasy poprzedzone znakiem „+" mogą zostać opuszczone bez zmiany znaków wyrazów znajdujących się w tym nawiasie. Natomiast jeśli przed nawiasem jest znak minus, wówczas zmieniamy znak wszystkich wyrazów znajdujących się w tym nawiasie na przeciwny. Podobnie postępujemy dla liczb ujemnych.

Przykłady:
\(\displaystyle{ a-(b-[c-(d-e)-f]) \\ =a-(b-[c-d+e-f]) \\ =a-(b-c+d-e+f) \\ =a-b+c-d+e-f}\)

\(\displaystyle{ 7xy-(5y \cdot (3z-(3x+z))) \\ =7xy-(5y \cdot (3z-3x-z)) \\ =7xy-(5y \cdot (2z-3x)) \\ =7xy-(10yz-15xy) \\ =22xy-10yz}\)
Ostatnio zmieniony 12 sty 2015, o 09:23 przez Elayne, łącznie zmieniany 6 razy.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16848
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2834 razy

Plus i Minus (archiwizacja 18 stycznia)

Post autor: a4karo » 1 sty 2015, o 12:18

Założenie:
\(\displaystyle{ a,b,c}\) oznaczają liczby
Jeżeli \(\displaystyle{ a}\) jest liczbą odmienną od zera, to:
\(\displaystyle{ +a}\) jest liczbą dodatnią \(\displaystyle{ +a > 0}\)
\(\displaystyle{ -a}\) jest liczbą ujemną \(\displaystyle{ -a < 0}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ a = 0 \ to \ +a = -a = 0}\)
Możesz mi przybliżyć co rozumiesz przez te zapisy?
Co oznacza to stwierdzenie: \(\displaystyle{ +a}\) jest liczbą dodatnią \(\displaystyle{ +a > 0}\)?
Jak się ma \(\displaystyle{ +a}\) do \(\displaystyle{ a}\)?
Jeżeli np \(\displaystyle{ a=-3}\) to \(\displaystyle{ +a}\) jest większe od zera?

GluEEE
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 924
Rejestracja: 30 gru 2012, o 19:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Całkonacja
Podziękował: 227 razy
Pomógł: 14 razy

Plus i Minus (archiwizacja 18 stycznia)

Post autor: GluEEE » 1 sty 2015, o 13:00

Raczej liczby rzeczywiste dodatnie.

Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 736
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 58 razy
Pomógł: 233 razy

Plus i Minus (archiwizacja 18 stycznia)

Post autor: Elayne » 1 sty 2015, o 14:04

Jeżeli mamy liczbę np.\(\displaystyle{ -3 \ to \ -3=-a \ a \ zatem \ -3<0}\).
Jeżeli mamy liczbę np.\(\displaystyle{ 3 \ to \ 3=a=+a \ a \ zatem \ 3>0}\)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16848
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2834 razy

Plus i Minus (archiwizacja 18 stycznia)

Post autor: a4karo » 1 sty 2015, o 14:24

Innymi słowy jeżeli \(\displaystyle{ a=-3}\) to \(\displaystyle{ a=3}\)? To się jakos kupy nie trzyma...

Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 736
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 58 razy
Pomógł: 233 razy

Plus i Minus (archiwizacja 18 stycznia)

Post autor: Elayne » 1 sty 2015, o 14:40

a oznacza samą liczbę np. 2,5,69 itp. Jeżeli przed liczba masz znak minus to przyjmujesz że jest to -a.
Zwyczajowo jest przyjęte że przed liczbą dodatnią nie stawiamy znaku plus stąd zapis +a = a

GluEEE
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 924
Rejestracja: 30 gru 2012, o 19:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Całkonacja
Podziękował: 227 razy
Pomógł: 14 razy

Plus i Minus (archiwizacja 18 stycznia)

Post autor: GluEEE » 1 sty 2015, o 14:46

Wartość bezwzględną

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16848
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2834 razy

Plus i Minus (archiwizacja 18 stycznia)

Post autor: a4karo » 1 sty 2015, o 14:50

a oznacza samą liczbę np. 2,5,69 itp. Jeżeli przed liczba masz znak minus to przyjmujesz że jest to -a.
Zwyczajowo jest przyjęte że przed liczbą dodatnią nie stawiamy znaku plus stąd zapis +a = a
Radze poczytac o wartości bezwzględnej. Inaczej staniesz przez nierozwiązanymi problemami.

Jak w twojej notacji zapisać liczbę \(\displaystyle{ b+c}\) skoro nie wiesz jakie są \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\) ?

Na przykład: czy w twojej notacji zapis \(\displaystyle{ a=5-7}\) jest poprawny?

Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 736
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 58 razy
Pomógł: 233 razy

Plus i Minus (archiwizacja 18 stycznia)

Post autor: Elayne » 1 sty 2015, o 15:25

Tu nie chodzi o wartość bezwzględną a raczej o liczby bezwzględne jeśli coś takiego jest.
Mamy na przykład \(\displaystyle{ 5-7}\), przyjmijmy że \(\displaystyle{ a}\) to \(\displaystyle{ 5}\), \(\displaystyle{ b}\) to \(\displaystyle{ 7}\) i \(\displaystyle{ \ a<b}\).
\(\displaystyle{ (+a)+(-b)=-(b-a)}\) gdy \(\displaystyle{ \ a<b}\)
\(\displaystyle{ (+5)+(-7)=-(7-5)=-2}\)

miodzio1988

Plus i Minus (archiwizacja 18 stycznia)

Post autor: miodzio1988 » 1 sty 2015, o 15:34

Szczerze jak ma być to w kompendium to powinno to być troszkę przydatne. W tej formie jest to bezużyteczne. Jakbyś jakieś ciekawe przykłady pokazał, coś np napisał o grupach/pierścieniach to jeszcze by to przeszło. A tak to, moim zdaniem, ten temat nie ma żadnej wartości merytorycznej

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16848
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2834 razy

Plus i Minus (archiwizacja 18 stycznia)

Post autor: a4karo » 1 sty 2015, o 15:35

Alez takie cos już wymyslono. Nazywa sie to wartością bezwzględną liczby. Poczytaj sobie...

Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 736
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 58 razy
Pomógł: 233 razy

Plus i Minus (archiwizacja 18 stycznia)

Post autor: Elayne » 1 sty 2015, o 16:04

Gdybym miał napisać coś o wartości bezwzględnej to może tak:
Wartość bezwzględna liczby a:
Jeżeli \(\displaystyle{ a \ge 0}\) to \(\displaystyle{ |a|=a}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ a < 0}\) to \(\displaystyle{ |a|=-a}\)
\(\displaystyle{ |ab|=|a| \cdot |b|}\)
\(\displaystyle{ |a+b| \le |a|+|b|}\)

Czasami gdy rozwiązujemy jakieś rozbudowane równanie mamy problem jaki znak postawić (plus czy minus?) i właśnie z myślą o takich sytuacjach powyższy temat został założony.

SidCom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 700
Rejestracja: 5 sty 2012, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 120 razy

Plus i Minus (archiwizacja 18 stycznia)

Post autor: SidCom » 1 sty 2015, o 16:32

Przyswajanie tych reguł (mam na myśli "PRAWO ZNAKÓW" I dalsze) może dość skutecznie namieszać w głowie gimnazjalisty a i maturzyści mogą dostać gęsiej skórki. Niepotrzebnie.
Do operowania znakami liczb w różnego rodzaju zadaniach wystarczy LOGIKA.

miodzio1988

Plus i Minus (archiwizacja 18 stycznia)

Post autor: miodzio1988 » 1 sty 2015, o 16:36

SidCom pisze:Przyswajanie tych reguł (mam na myśli "PRAWO ZNAKÓW" I dalsze) może dość skutecznie namieszać w głowie gimnazjalisty a i maturzyści mogą dostać gęsiej skórki. Niepotrzebnie.
Do operowania znakami liczb w różnego rodzaju zadaniach wystarczy LOGIKA.
wytłumacz zatem logicznie czemu minus razy minus daje plus

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5971
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Plus i Minus (archiwizacja 18 stycznia)

Post autor: bartek118 » 1 sty 2015, o 16:59

Logicznie jest to bardzo proste - mamy \(\displaystyle{ (-1)\cdot (-1)}\), wynik to \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ -1}\), gdyby wynikiem miało być \(\displaystyle{ -1}\), to:
\(\displaystyle{ (-1) \cdot (-1) = (-1) \\ -1 = 1 \\ 2 = 0}\)
i sprzeczność. Mniej więcej dlatego minus razy minus daje plus - po prostu nie może dać minusa jak pokazałem powyżej.

ODPOWIEDZ