Funkcja uwikłana

Archiwum kompendium.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Funkcja uwikłana

Post autor: mol_ksiazkowy »

Pojecie funkcji uwiklanej, otóz jesli dany jest wzór okreslajacy dzialania, jakie nalezy wykonać,-na argumencie iks, aby otrzymać odpowiadajacy mu element ygrek, tj. warotsc funkcji, tutaj mówimy, izjest podana w sposób jawny. Jesli zas jestesmy w sytuacji, iz rownanie o zmiennych x, y, które trzeba rozwikłać wzgledem y, to mamy własnie do czynienia z uwiklaniem,- i w tym przypadku znalezienie wzoru o jakim mowa powyzej bedzie , ... lub też moze byc niemozliwe... co nam całkiem ładnie ilustruja

(a) \(\displaystyle{ x^2y+y-x=0}\)
(b) \(\displaystyle{ y^3-2xy+1=0}\)


Jak więc widac ad a tu sprawa jest prostsza możemy po prostu wyliczyc zeń łątwo y jako funkcje zm. x, uzyskując równanie, które w sposób jawny wyraża wzór a. Oba zapisy a i a' są równowazne mozna je stosować zamiennie, a dla drugiego operować klasycznym regułąmi rachunku rózniczkowania.. Da się tu też ...co łatwo sprawdzić podać regułe x=g(y) .(jak ona wyglada..?)

:arrow: (a') \(\displaystyle{ y= \frac{x}{x^2+1}}\)

Drugi casus jest inny....Tu uzyskanie algebr. formuły postaci y=f(x) jest kłopotliwe...Można wszak zamienic rolami x i y, znajdując x=g(y)., co jest banalne. Bedzie to f. odwrotna do szukanej f. (wzór c). Widać z niego (wykres), że gdy x>1 to są trzy elementy, a dla xb. Mamy tu tez:

:arrow: \(\displaystyle{ \frac{df}{dx} (x)= \frac{1}{\frac{dg}{dy} (y)}=\frac{2y^2}{2y^3-1}}\)
(c) \(\displaystyle{ x= \frac{1}{2}(y^2+\frac{1}{y})}\)



Twierdzenie
Jeśli lewa strona równania F(x,y)=0 jest klasy \(\displaystyle{ C^1}\), w pewnym otoczeniu \(\displaystyle{ (x_0, y_0)}\) i jeśli \(\displaystyle{ F(x_0,y_0) =0}\) i \(\displaystyle{ F_y(x_0,y_0) \neq 0}\) , to istnieje przedział H t,ze \(\displaystyle{ x_0 \in H}\) i w którym jest dokładnie jedna funkcja y=f(x), ciągła w H, i t że F(x, f(x))=0, oraz \(\displaystyle{ f(x_0)=y_0}\). f ma w przedziale H ciągła pochodną daną:

:arrow: \(\displaystyle{ f^{\prime}(x)=-\frac{F_x(x, f(x)}{F_y(x, f(x))}}\)


:arrow: Uwaga
Aby otrzymac wzór na pochodna f. uwikanej y= f(x), danej równaniem F(x,y)=0, nalezy dokonac oblliczen wg tw. o pochodnej f złozonej, tj (1), \(\displaystyle{ f}\)...etc. Z kolei wzor na druga pochodna uzyskuje sie taki (zakladamy, tu ze F jest klasy \(\displaystyle{ F \in C^2}\) )
:arrow:
(2) \(\displaystyle{ f^{\prime \prime}=\frac{-F_y ^2 F_{xx}+2F_{xy}F_xF_y-F_x ^2 F_{yy} }{F_y ^3}}\)
(1) \(\displaystyle{ \frac{d}{dx} F(x,f(x))= F_x+F_y f^{\prime}=0}\)
tj. \(\displaystyle{ f^{\prime}=-\frac{F_x}{F_y}}\)



Ekstremum f. uwiklanej
Warunkiem wystarczajcym na to, aby f. uwiklana y=f(x) dana wzorem F(x,y)=0, \(\displaystyle{ F \in C^2}\), miała w punkcie (x,y) ekstremum jest aby \(\displaystyle{ F_x(x,y) =0}\) oraz \(\displaystyle{ F_y(x,y) \neq 0}\) , oraz \(\displaystyle{ F_{xx}(x,y) \neq 0}\). Jeśli te warunki są spełnione, to charakter ekstremum zalezy od znaku \(\displaystyle{ f^{\prime \prime}}\), tj. (\(\displaystyle{ f^{\prime \prime}}\) \(\displaystyle{ \ f^{\prime \prime}}\) >0 min) przy czym tu mamy:

\(\displaystyle{ f^{\prime \prime}=-\frac{F_{xx}}{F_y}}\)



:arrow: Przykład tzw. liść Kartezjusza
zbadaj f. uwiklana zm. x dana \(\displaystyle{ F(x,y)=x^3 +y^3- 3xy=0}\) tu według twierdzenia lizcymy.... \(\displaystyle{ F=0, \ F_x=3x^2- 3y=0}\) jest spelniona dla A=(0,0) -punkt osobliwy ....stycznymi sa osie ox i oy, ...i \(\displaystyle{ B=(\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{4})}\). Jest to maksimum funkcji y(x). A skoro wystepuje tu symetria ról x i y, to w punkcie \(\displaystyle{ C=(\sqrt[3]{4}, \sqrt[3]{2})}\) występuje max funkcji x(y). Uwaga: Mozliwy jest tez parametryczny zapis liscia K, jest to także pewnego rodzaju sposób uwikłania. tj

:arrow: \(\displaystyle{ x(t)= \frac{at}{1+t^3}}\)
\(\displaystyle{ y(t)=\frac{at^2}{1+t^3}}\)



Punkt osobliwy Gdy lewa stona równania F(x,y)=0 jest klasy \(\displaystyle{ C^1}\) w otoczeniu punktu \(\displaystyle{ P_0= (x_0, y_0)}\) i jeśli \(\displaystyle{ F(P_0)=F_x(P_0)=F_y(P_0)=0}\) to punkt ten zwiemy osobliwym. Obraz równania w bliskości P0 może być różny....np to może być punkt izolowany lub kilka krzywych przecinajacych się w nim., etc.
Zablokowany