Matematyka.pl

Ciekawe Liczby

Liczba palindromiczna

Liczbą palindromiczną nazywamy liczbę, która czytana wspak jest tą sama liczbą.

Przykłady

2002,1881,121,88, ...

Liczby bliźniacze

Liczbami bliźniaczymi nazywamy dwie kolejne liczby nieparzyste będace liczbami pierwszymi.

Przykłady

3 i 5; 5 i 7; 11 i 13; 17 i 19; ...

Liczba doskonała

Liczba doskonała to taka liczba naturalna, która jest równa sumie wszystkich jej dzielników właściwych to jest dzielników mniejszych od tej liczby.

Przykłady

1+2+3=6; 1+2+4+7+14=28; ...

Wzór ogólny:

Parzyste liczby doskonałe mają postać:

n=2(k-1)(2k-1), gdzie 2k-1 jest liczbą pierwszą oraz k jest liczbą naturalną.

Ciekawostki

I. Największa znaleziona liczba doskonała to 213466916(213466917-1)

II. Nadal nie wiadomo czy istnieje chociaż jedna liczba doskonała będąca liczbą nieparzystą.

Liczby zaprzyjaźnione

Liczby zaprzyjaźnione to takie liczby naturalne m i n, spełniajace następujący warunek:

Suma wszystkich mniejszych od m dzielników naturalnych liczby m równa się n i jednocześnie suma wszystkich mniejszych od n dzielników naturalnych liczby n jest równa m.

Przykłady

220 i 284; m=220; n=284

Sumę wszystkich mniejszych dzielników naturalnych liczby m oznaczmy M a liczby n - N.
M=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284=n
N=1+2+4+71+142=220=m

Ciekawostki

I. Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona sama ze sobą.

II. Jak dotychczas znanych jest około dwóch milionów par liczb zaprzyjaźnionych.

Liczba \(\displaystyle{ \LARGE \underline \pi}\) (Liczba Ludolfina)

Liczbą \(\displaystyle{ \large \pi}\) jest to liczba rzeczywista i niewymierna, będaca stosunkiem długosci obwodu koła do jego średnicy:

\(\displaystyle{ \large \pi=3,14159265358979323846264338327950288419716939937510...}\)

Liczba Eulera (e)

Liczba e jest liczbą niewymierną i przestępną będącą podstawą logarytmu naturalnego.

e określamy poprzez takie wyrażenie

\(\displaystyle{ e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}\)

w przybliżeniu wartość e wynosi
e = 2.718281828...

Euler wynalaz teraz bardzo fajna rzecz:

\(\displaystyle{ n^{2}-n+41}\) po podstawieniu za n=0,1,2,3,4...39 powstaja nam liczy pierwsze od 41 do 1601:)

Dość ciekawa jest jeszcze stała Eulera-Mascheroniego \(\displaystyle{ \gamma\approx 0.57721566490153286060651209008240243104215933593992359880576723}\). Ścisłą definicją jest \(\displaystyle{ \gamma= \lim\limits_{k\to\infty} 1+\frac12+\ldots+\frac1k-\ln k}\), co daje przybliżenie \(\displaystyle{ 1+\frac12+\ldots+\frac1k\approx \ln k+\gamma}\) dla dużych \(\displaystyle{ k}\). Do dziś nie wiadomo, czy jest wymierna.

Zlodiej pisze:Liczbami bliźniaczymi nazywamy dwie kolejne liczby nieparzyste będace liczbami pierwszymi.

Ciekawostka:
Na dzień dzisiejszy nie wiadomo czy istnieje nieskończenie wiele liczb bliźniaczych.

Myślę, że liczba, którą zapodam zaraz jest dość ciekawa i przydatna. Chociaż wzmianka o niej była już na forum w quizie matematycznym to warto ją tutaj przywołać.
Rozpatrzmy ciąg iteracji pewnej funkcji \(\displaystyle{ f:\Re \Re}\) mnożonej każdorazowo przez stałą \(\displaystyle{ \mu}\)
\(\displaystyle{ x_{n+1}={\mu}f(x_{n})}\)
Dla niektórych wartości \(\displaystyle{ x_0}\) przy ustalonym \(\displaystyle{ \mu}\) ciąg ten posiada granicę. Okazuje się, że dla wielu funkcji f liczba takich skończonych granic rośnie skokowo wraz ze wzrostem \(\displaystyle{ \mu}\). Oznaczmy przez \(\displaystyle{ \mu_n}\) rosnący ciąg wartości \(\displaystyle{ \mu}\) dla których zwiększyła się liczba granic ciągu \(\displaystyle{ x_n}\).

Okazuje się, że istnieje wtedy granica ciągu: \(\displaystyle{ \lim_{n \to }\frac {\mu_{n+1}-\mu_n}{\mu_{n+2}-\mu_{n+1}}}\)

granica ta jest identyczna dla szerokiej klasy funkcji i równa :
\(\displaystyle{ \delta=4,6692016091029906718532...}\) - tą wartość nazywamy stałą Feigenbauma

Rzeszut pisze:Dość ciekawa jest jeszcze stała Eulera-Mascheroniego

dodam że oszacowano że jeżeli stała Eulera jest liczbą wymierną to jej mianownik musi mieć co najmniej \(\displaystyle{ 10^{242080}}\) cyfr co jest razej mało prawdopodobne - dla porównania szacowana liczba atmów we wszechświecie wynosi \(\displaystyle{ 10^{80}}\)