Matematyka.pl

1. Kongruencją nazywamy przystawanie liczb całkowitych względem pewnego modułu.
2.Liczby całkowite przystają do siebie według pewnego modułu, gdy po podzieleniu ich przez ten sam dzielnik (moduł), dają taką samą resztę, albo różnica tych liczba dzieli się przez moduł bez reszty.

Przykład 1:
\(\displaystyle{ 9 \equiv 17 (mod4)}\)
Liczby 9 i 17 przystają do siebie według modułu 4, ponieważ przy dzieleniu przez moduł dają resztę 1 i 17-9=8 dzieli się bez reszty przez moduł.

3.Kongruencję rozpatrujemy tylko między liczbami całkowitymi, a za moduły obieramy tylko liczby naturalne.
\(\displaystyle{ a \equiv b (mod m) \\ m N}\)
m-moduł kongruencji

4.Własności kongruencji:
- każda liczba przystaje do siebie według pewnego modułu \(\displaystyle{ a \equiv a (modn)}\)
- Jeżeli \(\displaystyle{ a \equiv c (modn) b \equiv c (modn)}\), to \(\displaystyle{ a \equiv b (modn)}\)
-kongruencje o wspólnym module można dodawać stronami. Jeżeli \(\displaystyle{ a \equiv b (modn) c \equiv d (modn)}\) ,to \(\displaystyle{ (a+c) \equiv (b+d) (modn)}\).
- do każdej strony kongruencji można dodawać lub odejmować tę samą wielokrotnośc modułu
-obie strony kongruencji można mnożyć przez tę samą liczbę lub podnosić do tej samej potęgi. \(\displaystyle{ 9 \equiv 5 (mod4) \\ 90 \equiv 50 (mod4)}\).

Dodałbym jeszcze od siebie to:

Jeżeli \(\displaystyle{ f(x)}\) jest wielomianem o współczynnikach całkowitych oraz \(\displaystyle{ a \equiv b (mod n)}\), to:
\(\displaystyle{ f(a) \equiv f(b) (mod n)}\)

To jest właściwie uogólnienie tego co napisałeś.

fajny tekscik i mysle ze warto uzupełnic tez wten sposob, bo zostało nieco niedopowiedziane :
w zapisie jaki tu uzywamy liczba m jest modułem kongruencji

kongruencja modulo m jest relacja równowaznosci. tj rozbija zbior liczb całkowitych na m klas abstrakcji. W kazdej klasie sa wszystkie liczby dajace przy dzieleniu przez m ta samo reszte.

kongruencje - o wspolnym module ,mozna tez mnozyc stronami. i na koniec fakt banalny ale wazny: jesli liczby a i b przystaja do siebie modulo m , to i tez modulo k, gdzie k jest dzielnikiem m....

W ramach uzupełnienia warto rozpatrzeć jeszcze kwestię dzielenia kongruencji. Na ogół kongruencji nie można dzielić stronami bo doprowadzi to do błędnych wyników, ale po dodaniu pewnych warunków dzielenie również może dać prawidłowy wynik :

1.
Jeżeli \(\displaystyle{ a\equiv \ b (mod \ m)}\) , gdzie \(\displaystyle{ m N}\) oraz \(\displaystyle{ d \mid m}\) to \(\displaystyle{ a \equiv \ b\ ( mod \ d)}\),
np. : \(\displaystyle{ 9equiv 17 (mod 4) \ \(\displaystyle{ 9\equiv \ 17 (mod \ 2)}\) bo \(\displaystyle{ 2 \mid 4}\)
2.
Jeżeli \(\displaystyle{ ad \equiv \ bd \ (mod \ m)}\) oraz \(\displaystyle{ (d,m)=1}\)to \(\displaystyle{ a \equiv \ b (mod \ m)}\),
np.:\(\displaystyle{ 3 7 \equiv \ 7\cdot 7 \ (mod \ 4) \\\ (4,7) =1 \\\ 3 \equiv \ 7 \ (mod \ 4)}\)
3.
Niech \(\displaystyle{ d N}\) to \(\displaystyle{ ad \equiv \ bd (mod \ md) \Longleftrightarrow a \equiv \ b (mod \ m)}\), ten przypadek to mnożenie tylko od drugiej strony

w sumie nic odkrywczego ale warto wiedzieć, że przy dzieleniu trzeba uważać}\)

grandslam pisze:1. Kongruencją nazywamy przystawanie liczb całkowitych względem pewnego modułu.

To, co Kolega napisał, jest tylko szczególnym przypadkiem kongruencji. W ogólnym przypadku kongruencja jest relacją równoważności zachowującą wszystkie funkcje i relacje określone w (na?) jakimś zbiorze. Nie musi to być zbiór liczb calkowitych, ani zbór liczbowy. I tak relacja identyczności jest kongruencją w każdym zbiorze.
Najogólniej rzecz ujmując kongurencja słuzy do tworzenia z jednej struktury innej struktury -struktury ilorazowej.