kongruencja

Archiwum kompendium.
grandslam
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 112
Rejestracja: 23 maja 2006, o 19:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 13 razy

kongruencja

Post autor: grandslam » 27 lut 2007, o 18:16

1. Kongruencją nazywamy przystawanie liczb całkowitych względem pewnego modułu.
2.Liczby całkowite przystają do siebie według pewnego modułu, gdy po podzieleniu ich przez ten sam dzielnik (moduł), dają taką samą resztę, albo różnica tych liczba dzieli się przez moduł bez reszty.

Przykład 1:
\(\displaystyle{ 9 \equiv 17 (mod4)}\)
Liczby 9 i 17 przystają do siebie według modułu 4, ponieważ przy dzieleniu przez moduł dają resztę 1 i 17-9=8 dzieli się bez reszty przez moduł.

3.Kongruencję rozpatrujemy tylko między liczbami całkowitymi, a za moduły obieramy tylko liczby naturalne.
\(\displaystyle{ a \equiv b (mod m) \\ m N}\)
m-moduł kongruencji

4.Własności kongruencji:
- każda liczba przystaje do siebie według pewnego modułu \(\displaystyle{ a \equiv a (modn)}\)
- Jeżeli \(\displaystyle{ a \equiv c (modn) b \equiv c (modn)}\), to \(\displaystyle{ a \equiv b (modn)}\)
-kongruencje o wspólnym module można dodawać stronami. Jeżeli \(\displaystyle{ a \equiv b (modn) c \equiv d (modn)}\) ,to \(\displaystyle{ (a+c) \equiv (b+d) (modn)}\).
- do każdej strony kongruencji można dodawać lub odejmować tę samą wielokrotnośc modułu
-obie strony kongruencji można mnożyć przez tę samą liczbę lub podnosić do tej samej potęgi. \(\displaystyle{ 9 \equiv 5 (mod4) \\ 90 \equiv 50 (mod4)}\).
Ostatnio zmieniony 18 mar 2007, o 16:40 przez grandslam, łącznie zmieniany 4 razy.

Piotr Rutkowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

kongruencja

Post autor: Piotr Rutkowski » 27 lut 2007, o 22:38

Dodałbym jeszcze od siebie to:

Jeżeli \(\displaystyle{ f(x)}\) jest wielomianem o współczynnikach całkowitych oraz \(\displaystyle{ a \equiv b (mod n)}\), to:
\(\displaystyle{ f(a) \equiv f(b) (mod n)}\)

To jest właściwie uogólnienie tego co napisałeś.

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8252
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2722 razy
Pomógł: 697 razy

kongruencja

Post autor: mol_ksiazkowy » 27 lut 2007, o 23:40

fajny tekscik i mysle ze warto uzupełnic tez wten sposob, bo zostało nieco niedopowiedziane :
w zapisie jaki tu uzywamy liczba m jest modułem kongruencji

kongruencja modulo m jest relacja równowaznosci. tj rozbija zbior liczb całkowitych na m klas abstrakcji. W kazdej klasie sa wszystkie liczby dajace przy dzieleniu przez m ta samo reszte.

kongruencje - o wspolnym module ,mozna tez mnozyc stronami. i na koniec fakt banalny ale wazny: jesli liczby a i b przystaja do siebie modulo m , to i tez modulo k, gdzie k jest dzielnikiem m....

Awatar użytkownika
Doktor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 44
Rejestracja: 4 lis 2006, o 23:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa/Kolno
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 3 razy

kongruencja

Post autor: Doktor » 29 lip 2007, o 20:07

W ramach uzupełnienia warto rozpatrzeć jeszcze kwestię dzielenia kongruencji. Na ogół kongruencji nie można dzielić stronami bo doprowadzi to do błędnych wyników, ale po dodaniu pewnych warunków dzielenie również może dać prawidłowy wynik :

1.
Jeżeli \(\displaystyle{ a\equiv \ b (mod \ m)}\) , gdzie \(\displaystyle{ m N}\) oraz \(\displaystyle{ d \mid m}\) to \(\displaystyle{ a \equiv \ b\ ( mod \ d)}\),
np. : \(\displaystyle{ 9equiv 17 (mod 4) \ \(\displaystyle{ 9\equiv \ 17 (mod \ 2)}\) bo \(\displaystyle{ 2 \mid 4}\)
2.
Jeżeli \(\displaystyle{ ad \equiv \ bd \ (mod \ m)}\) oraz \(\displaystyle{ (d,m)=1}\)to \(\displaystyle{ a \equiv \ b (mod \ m)}\),
np.:\(\displaystyle{ 3 7 \equiv \ 7\cdot 7 \ (mod \ 4) \\\ (4,7) =1 \\\ 3 \equiv \ 7 \ (mod \ 4)}\)
3.
Niech \(\displaystyle{ d N}\) to \(\displaystyle{ ad \equiv \ bd (mod \ md) \Longleftrightarrow a \equiv \ b (mod \ m)}\), ten przypadek to mnożenie tylko od drugiej strony

w sumie nic odkrywczego ale warto wiedzieć, że przy dzieleniu trzeba uważać}\)

JankoS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3101
Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarów
Pomógł: 635 razy

kongruencja

Post autor: JankoS » 6 sty 2008, o 14:45

grandslam pisze:1. Kongruencją nazywamy przystawanie liczb całkowitych względem pewnego modułu.
To, co Kolega napisał, jest tylko szczególnym przypadkiem kongruencji. W ogólnym przypadku kongruencja jest relacją równoważności zachowującą wszystkie funkcje i relacje określone w (na?) jakimś zbiorze. Nie musi to być zbiór liczb calkowitych, ani zbór liczbowy. I tak relacja identyczności jest kongruencją w każdym zbiorze.
Najogólniej rzecz ujmując kongurencja słuzy do tworzenia z jednej struktury innej struktury -struktury ilorazowej.

Zablokowany