Hipoteza Continuum

Archiwum kompendium.
Awatar użytkownika
Arek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1729
Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koszalin
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 12 razy

Hipoteza Continuum

Post autor: Arek » 13 gru 2004, o 20:00

Hipoteza Continuum

Jak pisałem ostatnio, zbiory mogą się legitymować różną mocą [lub jak wolicie, relacja równości mocy dzieli zbiory na klasy abstrakcji, których moc jest pewną liczbą porządkową].

Otóż wiąże się z tym następujący problem, zwany hipotezą continuum.

HIPOTEZA CONTINUUM

Każdy nieprzeliczalny zbiór punktów prostej jest zbiorem równej mocy ze zbiorem wszystkich punktów prostej.


Otóż o co tak naprawdę pyta ta hipoteza? Jak wiadomo [a dowód podam w osobnym poście] liczby naturalne należą do innej klasy abstrakcji niż rzeczywiste, czyli mówiąc inaczej jest ich mniej [cokolwiek to może oznaczać - a co dokładnie o tym w poście o równoliczności]. Pytanie jest następujące: czy istnieje zbiór o mocy mniejszej niż zbiór liczb rzeczywistych ale większej niż naturalnych, czy może nie?

...

Pytanie wydaje się cokolwiek dziwne...

Ale kiedy się w nie zagłebić, można powiedzieć, że zagadnienie pyta o pomost pomiędzy matematyką dyskretną i konkretną... Pyta, czy istnieje wedle przyjmowanych aksjomatów jakieś powiedzielibyśmy "brakujące ogniwo". Ważkość pytania można porównać z pytaniem o powiązanie praw makro i mikroświata.

Hipotezę Continuum postawił nikt inny jak sam Georg Cantor - twórca teorii mnogości. Co ciekawe - niemożliwość jej potwierdzenia czy zaprzeczenia doprowadzała go do szaleństwa i do wielu chwil zwątpienia w prawdziwość swojej teorii.

Na temat teorii głos zabrało wielu najwybitniejszych matematyków I połowy XX wieku, ponieważ jej dowiedzenie lub obalenie okazałoby się wielkim osiągnięciem matematyki.

Podam kilka opracowań dotyczących tej kwestii, a później jej rozstrzygnięcie [???]

1. [W. Sierpiński] "Hypotese du Continu" - Paryż 1934
2. [Gödel] O ile aksjomaty Zermelo są niesprzeczne, to hipoteza continuum również jest z nimi niesprzeczna.
3. [W. Sierpiński] Hipoteza continuum jest równoważna stwierdzeniu, że jeżeli z punktu O przestrzeni trójwymiarowej poprowadzimy trzy proste, wzajemnie prostopadłe: OX, OY, OZ, to zbiór wszystkich punktów przestrzeni jest suma trzech zbiorów: z których pierwszy jest skończony na każdej prostej, równoległej do OX, drugi jest skończony na każdej prostej, równoległej do OY, trzeci jest skończony na każdej prostej, równoległej do OZ

4.[Cohen, 1963] Prawidłowości lub fałszywości HC nie da się dowieść na gruncie standardowego zestawu aksjomatów Zermelo.




Zaskakujące... cóż...

...gdyby Cantor się o tym dowiedział, to by się mógł zdenerwować, ale to uczy, że w matematyce nie tylko liczy sie... TAK lub NIE, ale także co te słowa oznaczają..., w świetle jakich założeń są prezentowane. O tym i o określoności systemów aksjomatów w poście o Twierdzeniu Gödla - jednym z najdonioślejszych twierdzeń matematyki XX wieku.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 30390
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4864 razy

Hipoteza Continuum

Post autor: Jan Kraszewski » 22 lut 2009, o 23:56

Nie podoba mi się początek tego hasła, nawiązujący do innego, niezbyt dobrego hasła "Liczby kardynalne".
Także zestaw "kilku opracowań" nie jest najlepszy.

JK

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Hipoteza Continuum

Post autor: Emiel Regis » 23 lut 2009, o 09:07

Chwile sie zastanawialem czy przeniesc ten temat do archiwum no i powyższy post przeważył.
Artykuł nie spełnia obecnych wymagań dotyczących tematów w kompendium. Jak autor będzie chciał, aby temat wrócił to powinien go poprawić.

Zablokowany