Liczby Kardynalne. Relacja równoliczności zbiorów.

[Arek]

Moc zbiorów. Równoliczność.

Równoliczność zbiorów

Jedną z podstawowych kwestii w matematyce jest określanie, czy dane dwa zbiory mają równą moc [potocznie ilość elementów, ale jak się przekonacie to dość nieprecyzyjne określenie]. Ale co to właściwie jest MOC ZBIORU? Otóż wiąże się to jednoznacznie z faktem istnienia LICZB KARDYNALNYCH, o których wyżej. Ja może powiem coś o nich z innego punktu widzenia, niż zrobił to Hetacz. Otóż jak wiadomo [Aksjomaty Zermelo] w matematyce wyróżniamy coś, co nazywa się KLASĄ ZBIORÓW. Otóż są to po prostu zbiory [ale nie "zbiór zbiorów", "wszystkie zbiory", tylko: "klasa zbiorów". Otóż wiadomo po kursie relacji, że w klasie zbiorów da się ustalić relację RÓWNOŚCI MOCY. Co taka relacja oznacza? Otóż:

RÓWNOŚĆ MOCY

1.Dwa zbiory A, B są równej mocy, jeżeli zbiór A jest równej mocy z pewnym podzbiorem zbioru B, i pewien zbiór B jest równej mocy z pewnym podzbiorem A.

masło maślane powiecie...

Ale jest jeszcze jedna - uzupełnienie dla poprzedniej:

2.Zbiory sa równej mocy, jeżeli istnieje między nimi przyporządkowanie wzajemnie jednoznaczne

I znowu pojęcie...

Ale teraz mamy już wszystko, więc czas wyjaśniać... od końca...

PRZYPORZĄDKOWANIE WZAJEMNIE JEDNOZNACZNE

MIĘDZY A i B oznacza tyle, że:

JEŻELI:

1. Biorę ze zbioru A element a i ze zbioru B element b i tworzę parę uporządkowaną: \(\displaystyle{ }\)

2. Elementu wziętego do jednej pary nie mogę już więcej wykorzystać...

I DZIĘKI TEMU:

3. Dla dowolnego elementu q ze zbioru A potrafię odnaleźć element s zbioru B, do pary, i odwrotnie [czyli dla pewnego z B znajdę taki z A]

TO

Między zbiorami istnieje przyporządkowanie [w pary] wzajemnie [zarówno z A do B jak i z B do A] jednoznaczne [elementu wziętego do jednej pary nie mogę już więcej wykorzystać...] - zwane inaczej BIJEKCJĄ

***

Mamy już zatem jasność co do punktu 2. Co jednak z tym pierwszym o równych mocach i jak się to ma to liczb kardynalnych??? Otóż:

Definicja 1 i 2 są równoważne - obie jak widzimy określają, kiedy zbiory są równej mocy.

Do czego nam potrzebna dziwaczna definicja 1???

Otóż - wyobraźcie sobie, że chcecie pokazać, że liczb parzystych i całkowitych jest jednakowo wiele. Otóż tu zastosujemy pierwszą definicję, ale przy użyciu drugiej.

LICZBY PARZYSTE I NATURALNĄ SĄ RÓWNEJ MOCY:

1. Korzystamy z definicji 1. i chcemy pokazać, że [*] zbiór liczb parzystych jest równej mocy z pewnym podzbiorem liczb naturalnych i [**] zbiór liczb naturalnych jest równej mocy z pewnym podzbiorem liczb parzystych.

[*] Tu kwestia jest oczywista. Za podzbiór liczb naturalnych uznajemy zbiór liczb parzystych a zbiór ten jest równoliczny ze zbiorem liczb parzystych na mocy [zapytacie: a tego nie widać? - widać, ale...] zwrotności relacji równości mocy [co to oznacza zaraz].

[**] A tu skorzystamy z definicji [2]. Otóż ustalimy sobie bijekcję pomiędzy zbiorem liczb parzystych, a... zbiorem liczb naturalnych. Innymi słowy pokażemy jak wybierać pary z liczb parzytych i naturalnych, by spełnić def. 2. Otóż mamy przekształcenie: x/2, dla każdego x parzystego. Tworzy ono następujące pary: , , ... . Sprawdźcie sami, że warunki definicji 2. są spełnione. Otóż powiecie - właściwie równość mocy zbioru liczb naturalnych i parzystych już dowiedliśmy. Ale wróćmy do definicji 1. Wiemy, że można zatem kolejne liczby naturalne podzielić przez 2 i nie utracimy żadnej z nich - prawda? Ale cóż to? Z liczb naturalnych stworzyliśmy właśnie zbiór liczb parzystych. Zatem [**] jest automatycznie spełnione...


Czemu używanie definicji pierwszej jest przydatne? Otóż istnieją nieskończone zbiory, które nie są sobie równe, i tu właśnie definicja pierwsza jest przydatna. Będę o tym pisał w innych postach.

KILKA CECH RELACJI RÓWNOŚCI MOCY [oznaczenie ~]

1. Relacja jest zwrotna, tzn. zbiór X ~ X [obvious]
2. Relacja jest symetryczna. [jeżeli X~Y to Y~X]
3. Relacja jest przechodna. [X~Y i Y~Z, to X~Z]

Jest to zatem relacja równoważności!!!


Co to oznacza?


Ano relacja równoważności dzieli nam grupę obiektów na struktury zwane klasami abstrakcji, i co ważne - obiekty w grupach łączy właśnie taka relacja równoważności.

PYTANIE NAJWAŻNIEJSZE !!!

Co to są owe klasy abstakcji dla klasy zbiorów?

Lub inaczej: co je łączy?

Otóż mocą liczb, należących do danej klasy, oznaczają właśnie LICZBY PORZĄDKOWE. Cóż. Mam nadzieję, że Hetacz nie jest podłamany, ale liczby kardynalne powinno się właśnie tak jakoś wyjaśniać!!!

Liczby porządkowa A, to liczba oznaczająca moc zbiorów należących do tej samej klasy abstrakcji, na które dzieli zbiory relacja równości mocy.

Liczba kardynalna to liczba porządkowa oznaczana symbolem alef, gdzie alef0 to moc zbioru liczb naturalnych, ale także parzystych, wymiernych, itp., alef1 to moc zbioru liczb rzeczywistych itd.

Tyle ode mnie. Kolejne posty, szczególnie o pewniku wyboru; hipozie Continuum i Twierdzeniu Cantora - Bernsteina już wkrótce.

[przemk20]

tylko relacja równoważności musi byc określona na jakimś zbiorze, równoliczność ma tylko cechy relacji rownowaznosci.
niech bedzie dana nieskonczona l. porzadkowa
\(\displaystyle{ \omega = \lbrace 0,1,2,... \rbrace}\)
wtedy
\(\displaystyle{ \omega + 1 = \omega \cup \lbrace \omega \rbrace \ \neq \omega}\)
jak równiez
\(\displaystyle{ | \omega | = | \omega + 1 |}\)
czyli zbior rownoliczny z \(\displaystyle{ \omega}\) jest równoliczny takze z \(\displaystyle{ \omega + 1}\) nalezy wiec do 2 rónych klas abstrakcji, co jest sprzeczne.
zas l. kardynalna to najmniejsza l. porzadkowa równoliczna z danym zbiorem ...

[Jan Kraszewski]

Tak, końcówka tego opisu jest wyjątkowo nieprawdziwa.

Liczby porządkowe nie biorą się z mocy, tylko z dobrych porządków, definicja liczby kardynalnej też jest do niczego...

JK