Twierdzenie Bolzano - Weierstrassa

Archiwum kompendium.
Awatar użytkownika
Tur!
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 52
Rejestracja: 27 sty 2009, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 7 razy

Twierdzenie Bolzano - Weierstrassa

Post autor: Tur! » 28 sty 2009, o 23:48

Każdy ciąg ograniczony posiada podciąg zbieżny.

Dowód:
Załóżmy, że ciąg \(\displaystyle{ (a_{n})}\) jest ograniczony, tzn. \(\displaystyle{ \exists_{M}\forall_{n} |a_{n}| \le M}\)
Definiujemy \(\displaystyle{ z_{1}:=sup\lbrace a_{n}, n \ge 1\rbrace \le M}\)
Z definicji kresu istnieje \(\displaystyle{ n_{1}}\) takie, że \(\displaystyle{ z_{1}-1<a_{n_{1}} \le z_{1}}\)
Definiujemy \(\displaystyle{ z_{2}:=sup\lbrace a_{n}, n \ge n_{1} \rbrace \le z_{1}}\)
Z definicji kresu istnieje \(\displaystyle{ n_{2}>n_{1}}\) takie, że \(\displaystyle{ z_{2}-\frac{1}{2}<a_{n_{2}} \le z_{2}}\)
Podobnie definiujemy \(\displaystyle{ z_{3} \ge z_{4} \ge ...}\) itd.
\(\displaystyle{ z_{k} - \frac{1}{k}<a_{n_2}} \le z_{k}}\)
Widać, że dla każdego \(\displaystyle{ z \ \ z_{k}=sup\lbrace a_{n}, n>n_{k-1} \rbrace \ge M}\)
Zbiór \(\displaystyle{ \lbrace a_{n}, n>n_{k-1} \rbrace}\) jest ograniczony z dołu przez \(\displaystyle{ n_{k-1}}\)
Z definicji kresu dolnego dla każdego \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) istnieje \(\displaystyle{ k_{\varepsilon}}\) takie że \(\displaystyle{ z \le z_{k_{\varepsilon}}< z+\varepsilon}\)
Wówczas:
\(\displaystyle{ \forall_{k \ge k_{\varepsilon}} z< z_{k}<z+ \varepsilon \\
z_{k} \Rightarrow |z_{k}-z| < \varepsilon}\)

Czyli \(\displaystyle{ z_{k}\to z}\)
\(\displaystyle{ z \gets z_{k} - \frac{1}{k} < a_{n_{k}} \le z_{k} \to z}\) (z twierdzenia o trzech ciągach \(\displaystyle{ a_{n}}\) wierzga do \(\displaystyle{ z}\))
Zatem znaleźliśmy podciąg \(\displaystyle{ (a_{n_{k}})}\), który jest zbieżny

Przy okazji pokazaliśmy, że:
Twierdzenie: Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny (dowód zawarty w powyższym dowodzie)

Zablokowany