Matematyka.pl

Proszę o pomoc w rozwiązaniu rózniczki

\(\displaystyle{ x(x^{2}+1)y'+y=x(1+x^{2})^{2}}\)

Jakiej różniczki
luka52

Nie jestem z tego jakims geniuszem, ale z tego co zdazylem zauwazyc to sie rozwiazuje poprzez uzmiennienie stalej Najpierw przeksztalcamy:
\(\displaystyle{ x(x^2+1)\frac{dy}{dx}+y=x(1+x^2)^2\\
\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x(x^2+1)}=x^2+1\\}\)

I rozwiazujemy rownanie jednorodne:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}+\frac{y}{x(x^2+1)}=0\\
\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x(x^2+1)}\\
\frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x(x^2+1)}\\
t \frac{dy}{y}=-\int \frac{dx}{x(x^2+1)}\\
\ln |y|=\int \frac{xdx}{x^2+1}-\int \frac{dx}{x}\\
\ln |y|=\frac{1}{2}\ln |x^2+1|-\ln |x|\\
y=C\cdot \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\\}\)

Uzmienniamy stala:
\(\displaystyle{ y=u(x)\cdot \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\\
\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}\cdot \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}
-\frac{u(x)}{x^2\sqrt{x^2+1}}\\}\)

Wracamy do rownania poczatkowego:
\(\displaystyle{ x(x^2+1)\left( \frac{du}{dx}\cdot \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}
-\frac{u(x)}{x^2\sqrt{x^2+1}} \right)+
u(x)\cdot \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=x(x^2+1)\\
\frac{du}{dx}\sqrt{x^2+1}-\frac{u(x)}{x\sqrt{x^2+1}}
+\frac{u(x)\sqrt{x^2+1}}{x(x^2+1)}=x(x^2+1)\\
\frac{du}{dx}-\frac{u(x)}{x(x^2+1)}+\frac{u(x)}{x(x^2+1)}=
\frac{x(1+x^2)}{\sqrt{x^2+1}} \\
\frac{du}{dx}=x\sqrt{x^2+1}\\
u(x)=\int x\sqrt{x^2+1}dx=\{ t=x^2+1 \}=\frac{1}{3}t^{\frac{3}{2}}+c=
\frac{1}{3}(x^2+1)^{\frac{3}{2}}+c\\}\)

Co nam daje ostatecznie:
\(\displaystyle{ y=\left(\frac{1}{3}(x^2+1)^{\frac{3}{2}}+c\right)\cdot \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=
\frac{(1+x^2)^2}{x}+\frac{c\sqrt{x^2+1}}{x}}\)

Niech ktos zobaczy czy nie ma nigdzie bledu POZDRO

Dziekuję Ci bardzo

na koncu mala korekta
\(\displaystyle{ y=\left(\frac{1}{3}(x^2+1)^{\frac{3}{2}}+c\right)\cdot \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=
\frac{(1+x^2)^2}{3x}+\frac{c\sqrt{x^2+1}}{x}}\)