Wyznaczyć całkę szczególną równania różniczkowego
\(\displaystyle{ {y' + 2xy=xe^{-x^{2}}}}\)
spełniającą warunek \(\displaystyle{ {y(0) = 1}}\)
Z góry dzięki za pomoc!
Równanie różniczkowe
-
Wasilewski
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
Równanie różniczkowe
Nie wiem za bardzo, czym jest całka szczególna, ale równanie rozwiązałbym tak:
\(\displaystyle{ y' + 2xy = xe^{-x^2} \ \ |\cdot e^{x^2} \\
y'e^{x^2} + 2xye^{x^2} = x \\
(ye^{x^2})' = x \\
t (ye^{x^2})' dx = t x dx \\
ye^{x^2} = \frac{x^2}{2} + C \ \ |\cdot e^{-x^2} \\
y = \frac{x^2}{2}e^{-x^2} +Ce^{-x^2}}\)
Domyślam się że całka szczególna, to takie rozwiązanie, które spełnia warunek początkowy:
\(\displaystyle{ 1 = 0 + C C = 1 \\
y = e^{-x^2}(\frac{x^2}{2} + 1)}\)
Mam nadzieję, że nie pisałem głupot.
\(\displaystyle{ y' + 2xy = xe^{-x^2} \ \ |\cdot e^{x^2} \\
y'e^{x^2} + 2xye^{x^2} = x \\
(ye^{x^2})' = x \\
t (ye^{x^2})' dx = t x dx \\
ye^{x^2} = \frac{x^2}{2} + C \ \ |\cdot e^{-x^2} \\
y = \frac{x^2}{2}e^{-x^2} +Ce^{-x^2}}\)
Domyślam się że całka szczególna, to takie rozwiązanie, które spełnia warunek początkowy:
\(\displaystyle{ 1 = 0 + C C = 1 \\
y = e^{-x^2}(\frac{x^2}{2} + 1)}\)
Mam nadzieję, że nie pisałem głupot.