równanie różniczkowe

emil1 · Post autor: **emil1** » 2 lut 2008, o 14:34

rozwiązać równanie różniczkowe \(\displaystyle{ y'=y \sin 2x}\) spełniające warunek początkowy \(\displaystyle{ y ft( \frac{\pi}{4} \right) =2}\).
Proszę o rozwiązanie końcowej do odpowiedzi ponieważ dopiero uczę się równań rózniczkowych a za tydzień mam egzamin;/
Z góry dziękuje za pomoc

luka52 · Post autor: **luka52** » 2 lut 2008, o 16:05

Rozdzielasz zmienne i całkujesz:
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}y}{y} = \sin 2x \, \\
t\limits_{2}^{y} \frac{\mbox{d}y}{y} = t\limits_{\frac{\pi}{4}}^x \sin 2x \, }\)
itd.

emil1 · Post autor: **emil1** » 2 lut 2008, o 16:17

mogę prosić o "itd" poniewaz nie wiem jak póxniej dojść do wyniku.
O ile się nie mylę to całkuje, podstawiam i wychodzi mi:
ln|y| - ln|2| = 1/2*cos2x - 1/2*cos(pi/2) ??
czy dobrze policzyłem całkę??
co dalej mam z tym zrobić?? podstawia się znów gdzieś później 2 i pi/2??
Dzięki za pomoc

Wasilewski · Post autor: **Wasilewski** » 2 lut 2008, o 16:23

Całka z sinusa to minus cosinus, zatem powinno być:
\(\displaystyle{ ln (\frac{y}{2}) = \frac{1}{2}(cos\frac{\pi}{2} - cos2x) \\
\frac{y}{2} = e^{-\frac{1}{2}cos2x} \\
y = 2e^{-\frac{1}{2}cos2x}}\)
Tak to widzę.

luka52 · Post autor: **luka52** » 2 lut 2008, o 16:27

Wasilewski pisze:Całka z sinusa to minus cosinus

Ale argumentem f. sinus nie jest samo "iks", ale "dwa iks" - nieco to zmienia sytuację.

PS. emil1, do zapisu używaj LaTeX-a https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951

Wasilewski · Post autor: **Wasilewski** » 2 lut 2008, o 16:41

Ale gafa. Już poprawiłem.

emil1 · Post autor: **emil1** » 2 lut 2008, o 17:04

Kod: Zaznacz cały

"PS. emil1, do zapisu używaj LaTeX-a  http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951"

pod podanym linkiem znajduje się taka informacja:

Kod: Zaznacz cały

"To forum jest teraz wyłączone.

Powód: Przerwa techniczna

Zmiana serwera- tymczasowy adres:
matematyka.czyzowianka.net"

Niestety nie pamiętam jak kożysta się z LaTeX-a:(

odnośnie zadania to dziękuje za odpowiedz i takie moje male ale:
nie powinno byc tak:
ln(y/2) = 1/2*(cos2x - cos(pi/2))
chodzi mi tu o granice całkowania. Najpierw górna później dolna?

Wasilewski · Post autor: **Wasilewski** » 2 lut 2008, o 17:07

No tak, ale:
\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} sinx \ dx = (-cosb) - (-cosa) = cosa - cosb}\)

luka52 · Post autor: **luka52** » 2 lut 2008, o 17:31

emil1, w takim razie (działający link). Polecam tą lekturę.

emil1 · Post autor: **emil1** » 2 lut 2008, o 17:35

Przepraszam, zwracam honor. Mój błąd, zadanie jak najbardziej prawidłowo rozwiązane.
Dziękuje za linka i pomoc z zadaniem.