Rozwiązanie RR i reguła łańcuchowa

[SasQ]

Siema
Czytam sobie właśnie "Elementary differential equations" Boyce'a & Diprimy. Analizuję jedno z początkowych rozwiązań. Niestety nie mogę zrozumieć, jak oni przeszli z jednego z kroków rozwiązania do następnego kroku. Może ktoś pomóc?
Oto to rozwiązanie [komentarze przetłumaczyłem na polski]:

(1) \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}p }{ \mbox{d}t } = \frac{p - 900}{2}}\)

lub, jeśli \(\displaystyle{ p \neq 900}\):

(2) \(\displaystyle{ \frac{ \frac{ \mbox{d}p }{ \mbox{d}t } }{p - 900} = \frac{1}{2}}\)

Ponieważ, z reguły łańcuchowej, lewa strona równania (2) jest różniczką \(\displaystyle{ \ln|p - 900|}\) względem \(\displaystyle{ t}\), otrzymujemy:

(3) \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d} }{ \mbox{d}t } \ln|p - 900| = \frac{1}{2}}\)

I tu właśnie nie wiem, w jaki sposób im to wyszło z reguły łańcuchowej, bo kombinuję z nią już na wszelkie sposoby i nie wychodzi mi tak, jak im. Mógłby ktoś kopsnąć jakieś pośrednie kroki między (2) a (3) tak, żebym zrozumiał jak to policzyli?

P.S.: Pomysł, by linki dało się podawać dopiero po napisaniu 10 postów jest IMHO dość idiotyczny. Boty może i przestaną spamować, ale zaczną spamować ludzie

[Mikhaił]

odnosnie tego
1zł = 10gr*10gr = 0.1zł*0.1zł = 0.01zł = 1gr

to nieprawda, bo 1zl to nie jest 10gr*10gr tylko 10gr*10;]

[SasQ]

"Oni to wiedzą, Kocie" Moja stopka to taki "żart matematyczny" Ale widzę, że lubisz takie zagwozdki, więc jeśli chcesz, to miałbym taką jedną zagwozdkę której jeszcze nie rozgryzłem. Pochodzi z jakiegoś starego numeru "Świata Wiedzy" [zadanie z dwiema przekupkami i melonami]. Jak jesteś chętny, to wrzucę w osobnym wątku

[Mikhaił]

sam jestes kot;p , ale mniejsza z tym. To zapodaj ta zagadke;]

[SasQ]

To był cytat z "13 posterunku" ;J No offence. A zagadkę masz tu:
https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=58470

Wracając do tematu: to jak z tą regułą łańcuchową w rozwiązaniu z pierwszego posta?

[luka52]

Reguła łańcuchowa, o ile się nie mylę, to coś takiego (btw. ten termin występuje chyba tylko w literaturze anglojęzycznej, bo w polskojęzycznej jeszcze się nie spotkałem):
\(\displaystyle{ \frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dt} \cdot \frac{dt}{ds} \cdot \ldots \cdot \frac{df}{dx}}\)
A ten przytoczony przykład to jakoś w ogóle mi się nie widzi :/
Normalnie to wystarczy rozdzielić zmienne i obustronnie scałkować, tj.:
\(\displaystyle{ \frac{dp}{p-900} = \frac{dt}{2}\\
\ln |p - 900| = C't\\
\ldots}\)
C'=C/2

Może ktoś inny rzuci na to okiem...

[SasQ]

Reguła łańcuchowa, o ile się nie mylę, to coś takiego

Tak, to to

ten termin występuje chyba tylko w literaturze anglojęzycznej, bo w polskojęzycznej jeszcze się nie spotkałem

Choć rzeczywiście częściej widuję określenie "pochodna funkcji złożonej".

A ten przytoczony przykład to jakoś w ogóle mi się nie widzi :/

Zrobiłem sprawdzenie dla ich wyniku, wyszedł dobry, czyli ich sposób obliczenia jest OK. Tylko zrobili zbyt gwałtowny skok z tą regułą łańcuchową, dlatego mam lekki problem z rozgryzieniem tego.

Normalnie to wystarczy rozdzielić zmienne i obustronnie scałkować

Do rozdzielania zmiennych jeszcze nie dotarłem, ale przyjrzę się temu. Wynik wyszedł taki sam, więc wygląda na to, że tak też można ;J
Hmm... a znasz może jakąś stronę WWW [może być po angielsku], na której byłby przystępnie opisany ten sposób z rozdzielaniem zmiennym? [zwłaszcza kwestia dlaczego tak można i skąd to wynika, bo to zazwyczaj pomaga mi zrozumieć dany sposób]

//EDIT:
Może podam, w jaki sposób próbowałem to rozkminić:
Rozpisałem sobie lewą stronę równania w takiej formie:

\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}p}{\mbox{d}t} \frac{1}{p-900}}\)

Żeby powstała z tego reguła łańcuchowa mająca taką postać:

\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}p}{\mbox{d}t} \frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}p} = \frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}t}}\)

Pierwszy składnik iloczynu po lewej stronie się zgadza, tylko nie wiem co z tym drugim składnikiem, w którego miejscu jest to \(\displaystyle{ \frac{1}{p-900}}\). Wiem tylko, że jest to pochodna funkcji \(\displaystyle{ \ln|p-900|}\), więc pewnie brakuje mi już tylko jakiegoś małego kroczku ;J

[luka52]

Hehe, teraz dopiero widzę o co chodzi
Autorzy po prostu zgadują, że całką z \(\displaystyle{ \frac{1}{p-900}}\) jest ten logarytm, albo (co na jedno wychodzi) że pochodną \(\displaystyle{ \ln |p-900|}\) jest to pierwsze.
Sama metoda to w sumie nic innego jak metoda rozdzielania zmiennych, ale w przyjaźniejszej formie.
A co do równania jeszcze, to wydaje mi się, że taki przeskok byłby bardziej zrozumiały:
\(\displaystyle{ \frac{p'}{p-900} = \frac{1}{2}\\
(\ln |p-900|)' = ft( \frac{1}{2}t + C \right)'\\
\ldots}\)