Matematyka.pl

mam dwa przykłady:
\(\displaystyle{ t^2 y'' + ty' - 4y = 1}\)
\(\displaystyle{ t^2 y'' - ty' + y = 1}\)
oraz odpowiednie układy fundamentalne dla równań:
\(\displaystyle{ t^2 y'' + ty' - 4y = 0}\)
\(\displaystyle{ t^2 y'' - ty' + y = 0}\)

podaję postać ogólną rozwiązania z C1(t) i C2(t) oraz warunek który spełniają pochodne C2'(t) i C1'(t) czyli równanie macierzy. Do macierzy po prawej stronie wstawiamy 0 na górę a na dół funkcję h(t) z danego równania różniczkowego. I tu pytanie - czy dla moich przykładów wstawiam 1 czy 1/t^2 (po podzieleniu równania przez potęge t przy y''. A jak będzie z funkcją
\(\displaystyle{ (3t+2t^2)y'' - 6(1+t)y' + 6y = 6}\)? z góry dziękuje za pomoc i wytłumaczenie

Nie bardzo rozumiem o co Ci dokładnie chodzi, dlatego przedstawię przykładowe rozwiązanie pierwszego przykładu.

Zajmijmy się wpierw przykładem pierwszym:
\(\displaystyle{ t^2 y'' + ty' - 4y = 1}\)
Jest to r. r. Eulera.
Rozwiązujemy wpierwej r. jenorodne. Rozwiązanie tegoż przewidujemy w postaci:
\(\displaystyle{ y = t^r}\), skąd \(\displaystyle{ y' = rt^{r-1}, \quad y'' = r(r-1)t^{r-2}}\)
Po zał. \(\displaystyle{ x^r 0}\) i wstawieniu do r. jednorodnego i uproszczeniu otrzymujemy r. charakterystyczne:
\(\displaystyle{ r(r-1) + r - 4 = 0 \iff r = 2}\)
Zatem rozw. r. jednorodnego jest
\(\displaystyle{ y_1 = C_1 t^2 + C_2 t^{-2}}\)
Następnie jako całkę szczególną równania niejednorodnego przewidujemy jakąś stałą, tj. \(\displaystyle{ y_2 = a}\). Łatwo znajdujemy, że \(\displaystyle{ y_2 =- \frac{1}{4}}\).
Ostatecznie rozwiązaniem jest:
\(\displaystyle{ y = C_1 t^2 + C_2 t^{-2} - \frac{1}{4}}\)

Pewna uwaga końcowa:
Ponieważ w swoim opisie wspominasz coś o macierzach i C1(t), etc. więc mniemam, że chciałeś "zwyczajnie" rozwiązać te równania - tj. wpierw r. jednorodne, a następnie uzmiennianie stałych.
Jednak zauważ, że tutaj przy y i jej pochodnych jest zmienna t, która nieco komplikuje sprawę.

Ok, dzięki. Albo czegoś nie zrozumiałem na wykładzie, albo nie uczli nas takiego podejścia. Wydaje mi się, że oczekują właśnie "zwyczajnego" rozwiązania jakbyś mógł mi jeszcze napisać jak poradzić sobie ze zmienną t chcąc pójść na około to byłbym wielce wdzięczny

Hmm... ale to tzw. "zwyczajne" podjeście to stosuje się do równań postaci: \(\displaystyle{ ay'' + by' + cy = f(x)}\), gdzie a, b, c to stałe.
A tu mamy do czynienia z innym typem i przy rozwiązywaniu r. jednorodnego musimy przewidywać rozw. innej postaci. Oczywiście można przy szukaniu całki szczególnej posłużyć się metodą uzmienniania stałych, ale z reguły zwykłe przewidywanie wystarcza.

Trochę się zamotałem, już rozumiem i racja stoi po twojej stronie dzięki za naprowadzenie!

[ Dodano: 24 Stycznia 2008, 09:07 ]
A jak byłoby z rozwiązaniem równania

\(\displaystyle{ t^2y'' - ty' + y = 6t lnt}\)?