Mam taki oto układ równań różniczkowych drugiego rzędu:
\(\displaystyle{ x''=M^{-1}Kx+M^{-1}f(t)}\)
\(\displaystyle{ x_i(t)}\) jest funkcją zmiennej \(\displaystyle{ t}\). \(\displaystyle{ 1 \le i \le 10}\). \(\displaystyle{ M}\) oraz \(\displaystyle{ K}\) to macierze o stałych współczynnikach wymiaru \(\displaystyle{ 10 \times 10}\). Macierz \(\displaystyle{ M}\) jest macierzą diagonalną, a \(\displaystyle{ K}\) jest macierzą trójdiagonalną. \(\displaystyle{ f(t)}\) to wektor \(\displaystyle{ 10}\)-elementowy, którego pierwszy element to pewna funkcja zmiennej \(\displaystyle{ t}\), a pozostałe elementy są zerami.
O co mi chodzi: Chcę ten układ \(\displaystyle{ 10}\)-ciu równań drugiego rzędu zamienić na układ \(\displaystyle{ 20}\)-stu równań pierwszego rzędu. Podobno tak się da, ale kompletnie nie wiem jak to zrobić. W necie nie znalazłem żadnych rzetelnych informacji jak takie coś zrobić. Dlatego proszę o pomoc.
Ewentualnie jeśli to jest zbyt zagmatwane to prosiłbym o wytłumaczenie tego na jakimś prostym przykładzie np. układzie dwóch równań różniczkowych drugiego rzędu i pokazanie jak to zamieniać na układ równań pierwszego rzędu.
Układ równań różniczkowych
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4068
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Układ równań różniczkowych
Niech \(\displaystyle{ x''= \textbf{A}x+g}\), gdzie \(\displaystyle{ x,g:\RR\to \RR^n}\) oraz \(\displaystyle{ A\in \mathcal{L}(\RR^n,\RR^n)}\). Kładąc
przy czym \(\displaystyle{ \textbf{0}}\) to macierz zerowa \(\displaystyle{ n \times n}\), a \(\displaystyle{ \textbf{I}}\) to macierz identycznościowa \(\displaystyle{ n \times n}\). Ostatecznie jeśli na \(\displaystyle{ (u,v)^{\top}}\) spojrzymy jak na \(\displaystyle{ y}\) to równanie powyżej zapiszmy jako o układ \(\displaystyle{ 2n \times 2n}\) równań
\(\displaystyle{ u=(x_1,\ldots, x_n)^{\top} \qquad \& \qquad v=(x'_1,\ldots, x'_n)^{\top}}\)
dostajemy, że \(\displaystyle{ u'=v}\) oraz \(\displaystyle{ v'=Ax+g}\). Zatem \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}u \\ v \end{bmatrix}' = \left[
\begin{array}{c|c}
\textbf{0} & \textbf{I}\\
\hline
\textbf{A} & \textbf{0}
\end{array}
\right] \begin{bmatrix}u \\ v \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 \\ g \end{bmatrix} }\)
\begin{array}{c|c}
\textbf{0} & \textbf{I}\\
\hline
\textbf{A} & \textbf{0}
\end{array}
\right] \begin{bmatrix}u \\ v \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 \\ g \end{bmatrix} }\)
przy czym \(\displaystyle{ \textbf{0}}\) to macierz zerowa \(\displaystyle{ n \times n}\), a \(\displaystyle{ \textbf{I}}\) to macierz identycznościowa \(\displaystyle{ n \times n}\). Ostatecznie jeśli na \(\displaystyle{ (u,v)^{\top}}\) spojrzymy jak na \(\displaystyle{ y}\) to równanie powyżej zapiszmy jako o układ \(\displaystyle{ 2n \times 2n}\) równań
\(\displaystyle{ y'=\textbf{B}y+\tilde{g},\quad \text{ dla } \textbf{B}=\left[
\begin{array}{c|c}
\textbf{0} & \textbf{I}\\
\hline
\textbf{A} & \textbf{0}
\end{array}
\right]\in \mathcal{L}(\RR^{2n},\RR^{2n}), \quad \tilde{g}= \begin{bmatrix}0 \\ g \end{bmatrix}. }\)
\begin{array}{c|c}
\textbf{0} & \textbf{I}\\
\hline
\textbf{A} & \textbf{0}
\end{array}
\right]\in \mathcal{L}(\RR^{2n},\RR^{2n}), \quad \tilde{g}= \begin{bmatrix}0 \\ g \end{bmatrix}. }\)
