Równanie różniczkowe niezupełne

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Falwick
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 62
Rejestracja: 14 kwie 2009, o 10:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 4 razy

Równanie różniczkowe niezupełne

Post autor: Falwick »

Proszę o pomoc w pokazaniu, że równanie
\(\displaystyle{
\frac{-y}{x^2+y^2} +\frac{x}{x^2+y^2}y'=0
}\)

nie jest zupełne w obszarze \(\displaystyle{ \mathbb{R}\setminus\{(0,0\}}\). Obszar ten nie jest oczywiście jednospójny, więc nie możemy stosować standardowego warunku z równością pochodnych cząstkowych. Przyznam się, że przez dłuższą chwilę nie miałem do czynienia z równaniami różniczkowymi. Wydaje mi się, że trzeba próbować podejść do tego z definicji równania zupełnego, ale być może jest jakieś twierdzenie rozstrzygające zupełność w takich obszarach, a ja go nie znam lub nie pamiętam. Z góry dziękuję za odpowiedź.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Równanie różniczkowe niezupełne

Post autor: Dasio11 »

Wskazówka: gdyby \(\displaystyle{ \frac{\partial F}{\partial x} = \frac{-y}{x^2+y^2}}\) i \(\displaystyle{ \frac{\partial F}{\partial y} = \frac{x}{x^2+y^2}}\) dla pewnej funkcji \(\displaystyle{ F : \RR^2 \setminus \{ (0, 0) \} \to \RR}\), to całka

\(\displaystyle{ \oint \limits_{S^1} \frac{-y}{x^2+y^2} \dd x + \frac{x}{x^2+y^2} \dd y}\)

po okręgu jednostkowym równałaby się zeru.
ODPOWIEDZ