Równanie Różniczkowe Cząstkowe 1 rzędu - pytanie

[Yaroo10]

Witam. Zaprezentuję Państwu pewne rozwiązanie równania i poniżej zadam pytanie.
\(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{ \partial x} + \frac{ \partial u}{ \partial y} =u }\)
gdzie \(\displaystyle{ u = u(x,y)}\)

1. Zakładam, że \(\displaystyle{ u(x,y)= X(x) \cdot Y(y)}\), wtedy:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{ \partial x} = Y(y) \cdot \frac{dX(x)}{dx} }\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{ \partial y} = X(x) \cdot \frac{dY(y)}{dy} }\)
Podstawiając do równania, mamy
\(\displaystyle{ Y(y) \cdot \frac{dX(x)}{dx} + X(x) \cdot \frac{dY(y)}{dy} =X(x) \cdot Y(y) }\)
Dzielę obustronnie przez \(\displaystyle{ u(x,y)}\), otrzymuję:
\(\displaystyle{ \frac{\frac{dX(x)}{dx}}{X(x)} = - \frac{\frac{dY(y)}{dy}}{Y(y)} }\)
Obie strony muszą być równe pewnej stałej niezależnej od \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ y}\)
a) \(\displaystyle{ \frac{\frac{dX(x)}{dx}}{X(x)} = \alpha}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{\frac{dY(y)}{dy}}{Y(y)} = - \alpha}\)
Całkując równanie a) po \(\displaystyle{ dx}\), mamy:
\(\displaystyle{ \ln (X(x)) = \alpha x + C(y)}\)
...i teraz kluczowe pytanie. Czy tutaj powinienem wziąć, że stała całowania może być funkcją \(\displaystyle{ y}\), tj. \(\displaystyle{ C=C(y)}\)?

[Janusz Tracz]

Dzielę obustronnie przez \(\displaystyle{ u(x,y)}\), otrzymuję:
\(\displaystyle{ \frac{\frac{dX(x)}{dx}}{X(x)} =- \frac{\frac{dY(y)}{dy}}{Y(y)} }\)

A nie powinno być przypadkiem tak

\(\displaystyle{ \frac{\frac{dX(x)}{dx}}{X(x)} =\red{1} - \frac{\frac{dY(y)}{dy}}{Y(y)} }\)

Zatem

\(\displaystyle{ \frac{\frac{dX(x)}{dx}}{X(x)} = \alpha \quad \&\quad 1-\frac{\frac{dY(y)}{dy}}{Y(y)} = \alpha }\)

czyli

\(\displaystyle{ \frac{\frac{dX(x)}{dx}}{X(x)} = \alpha \quad \&\quad \frac{\frac{dY(y)}{dy}}{Y(y)} = 1-\alpha }\)

Tak czy inaczej dalsze pytanie ma sens. I naśladując metodę rozdzielania zmiennych w równaniu ciepła powiedział bym, że nie musisz zakładać, że \(\displaystyle{ C}\) zależy od \(\displaystyle{ y}\). Możliwe jednak, że coś kręcę więc nie ufaj mi bezgranicznie. Może ktoś z forum mnie poprawi ale w metodzie rozdzielania zmiennych stosowanej do równania ciepła dostaje się dwa zwykłe równania różniczkowe zwyczajne i wszystkie wstępujące w nich stałe są już niezależne od \(\displaystyle{ x,y}\). Tu jednak zaczynają się pewne problemy bo ta metoda nie daje Ci od razu rozwiązania ogólnego. Przykładowo (znów odwołam się do równania ciepła) jak masz zagadnienie z warunkiem brzegowym to zwykle z tych warunków wynika, że stała \(\displaystyle{ \alpha }\) może mieć bardzo konkretną wartość parametryzowaną \(\displaystyle{ n\in\ZZ}\) (czy \(\displaystyle{ \NN}\)). Chodzi mi o to, ze jest przeliczalnie wiele możliwych \(\displaystyle{ \alpha }\) i to spektrum jest dyskretne więc się je parametryzuje. Więc \(\displaystyle{ \alpha }\)-y parametryzuje się i rozwiązanie zapisuje się w postaci:

\(\displaystyle{ u(x,y)= \sum_{n}^{}u_{n}(x,y), }\)

gdzie \(\displaystyle{ u_{n}(x,y)}\) to \(\displaystyle{ X_n(x)Y_n(y)}\), gdzie czynniki iloczynu to rozwiązania konkretnych równań różniczkowych zwyczajnych dla konkretnej \(\displaystyle{ \alpha_n}\) wziętej z przeliczalnego spektrum możliwych \(\displaystyle{ \alpha }\)f. Ogólnie rzecz biorąc

\(\displaystyle{ u(x,y)= \sum_{ \alpha \in\left\{ \text{dobre } \alpha \right\} }^{} u_ \alpha (x,y)}\)

a to, że zbiór dobrych \(\displaystyle{ \alpha }\) jest dyskretny to przyjemny przypadek. Chcąc naśladować to podejście tu rozwianiem będą dwie funkcje \(\displaystyle{ X}\) oraz \(\displaystyle{ Y}\) ale one będą dla konkretnej \(\displaystyle{ \alpha }\). Tylko brak jakichkolwiek ograniczeń/warunków pozwala aby \(\displaystyle{ \alpha }\) był zupełnie dowolna. Zatem uważam (choć udowodnić tego nie umiem), że

\(\displaystyle{ u(x,y)= \int_{} u_ {\alpha} (x,y) \, \dd \alpha = \int_{} X_ \alpha (x)Y_ \alpha (y) \, \dd \alpha }\)

będzie czymś co przypomina ogólne rozwiązanie. Mało tego całki te powinny być w teorii po \(\displaystyle{ \RR}\) ale przyznam, że się sam się zgubiłem w tym bo nie wiem czy będą zbieżne. Jak to będzie wyglądać jawnie. Ustalmy chwilowo \(\displaystyle{ \alpha \in\RR}\) wtedy z równań wynika, że

\(\displaystyle{ X_ \alpha (x)=e^{ \alpha x}C \qquad \& \qquad Y_ \alpha (y)=e^{(1- \alpha) x}D}\)

gdzie \(\displaystyle{ C,D}\) to dowolne stałe mogące zależeć od \(\displaystyle{ \alpha }\) (ta zależność wynika stąd, że gdyby miał jakiś warunek początkowy to faktycznie \(\displaystyle{ C}\) oraz \(\displaystyle{ D}\) mogły by zależeć od \(\displaystyle{ \alpha }\)). Zatem

\(\displaystyle{ u_{ \alpha }(x,y)=\phi( \alpha )e^{ \alpha x} e^{ (1-\alpha) y},}\)

gdzie \(\displaystyle{ \phi}\) to dowolna funkcja. Faktycznie jest takie coś jest rozwiązaniem dla dowolnej \(\displaystyle{ \alpha \in \RR}\). Ale z liniowości mamy, że jak weźmiemy dwie \(\displaystyle{ \alpha }\) powiedzmy \(\displaystyle{ \alpha _1}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha _2}\) to

\(\displaystyle{ u_{ \alpha _1}(x,y)+u_{ \alpha _2}(x,y)}\)

też będzie rozwiązanym. I tak dalej. Stąd pomysł, że dyskretną sumę rozwiązań zastępuje się całką.

[Yaroo10]

Chyba, przejrzałem na oczy... Wydaje mi się, że stała \(\displaystyle{ C \neq C(y)}\) nie może zależeć od \(\displaystyle{ y}\) tylko z powodu mojego założenia, że \(\displaystyle{ X=X(x)}\) jest jedynie funkcją \(\displaystyle{ x}\), bo gdybym miał sytuację, że:
\(\displaystyle{ X(x) = C(y) \cdot e ^{\alpha x} }\)
byłoby to niezgodne z założeniem.

\(\displaystyle{ u(x,y)= \int_{} u_ {\alpha} (x,y) \, \dd \alpha = \int_{} X_ \alpha (x)Y_ \alpha (y) \, \dd \alpha }\)

\(\displaystyle{ u_{ \alpha _1}(x,y)+u_{ \alpha _2}(x,y)}\)

Stąd pomysł, że dyskretną sumę rozwiązań zastępuje się całką.

Muszę przyznać, że intrygujące.