Równanie Różniczkowe 2 rzędu z zmiennymi współczynnikami

[Yaroo10]

Witam. Poszukję rozwiązania ogólnego na rówanie różniczkowe 2 rzędu z zmiennymi współczynnikami.

Tak jak dla stałych współczynników
\(\displaystyle{ a \frac{d ^{2} y }{dx ^{2} } + b \frac{dy}{dx} + c y = 0 }\)
znajdujemy, że \(\displaystyle{ y = A e ^{r t} }\)

To czy moglibyśmy znaleźć rozwiązanie równania poniżej?
\(\displaystyle{ a(x) \frac{d ^{2} y }{dx ^{2} } + b(x) \frac{dy}{dx} + c(x) y = 0 }\)

Z góry dziękuję za wszelkie propozycje.

[Janusz Tracz]

W tak dużej ogólności się raczej nie da tego zrobić. Ale może przydatne będzie

• Kod: Zaznacz cały

  https://en.wikipedia.org/wiki/Power_series_solution_of_differential_equations

• Kod: Zaznacz cały

  http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~znmp/dydaktyka/rrz/Lista_cw5.pdf

  , gdy znasz jakieś szczególne rozwiązanie.

[Yaroo10]

Super wiadomość. Czyli poszukujemy rozwiązania w postaci szeregu. Jedyny kłopot to, że szeregi te nie są szybko zbieżne i potrzeba znaleźć dużą ilość wyrazów tego szeregu, aby dosyć dokładnie przedstawić funkcję. Czy jest jakaś rada na to?

[Janusz Tracz]

Super wiadomość.

Widzę, że jesteś optymistą. Ja spałowania równania szeregiem nie nazwałbym super wiadomością. Raczej to lepsze niż nic. W rzeczywistych zastosowaniach w większości przypadków każdy policzyłby rozwiązanie numerycznie, a nie bawił się w szeregiem. No chyba, że chcemy koniecznie jakieś analityczne wyniki, wtedy szereg może się przydać. Twoje początkowe pytanie miało charakter analityczny, dlatego pisałem wyłącznie o metodach analitycznych. Teraz trochę odbijamy w stronę metod numerycznych, na których się nie znam.

Jedyny kłopot to, że szeregi te nie są szybko zbieżne i potrzeba znaleźć dużą ilość wyrazów tego szeregu, aby dosyć dokładnie przedstawić funkcję. Czy jest jakaś rada na to?

W tej ogólności, w której przedstawiasz problem, nie wiem skąd wniosek o wolnej zbieżności szeregu? Gdyby funkcje \(\displaystyle{ a,b,c}\) były stałe, to metoda szeregów dałaby dość szybko zbieżne szeregi, więc różnie to bywa. Jak wspomniałem na metodach numerycznych się nie znam, więc nie wiem co się robi, gdy szereg jest wolno zbieżny. Wtedy pewnie istnieją inne metody rozwiązywania takich równań, tylko że numerycznie. Wiem jedynie, że tępo zbieżności można poprawić transformacjami (często nieliniowymi) szeregu przykładowo

• Euler's transform,

• Kod: Zaznacz cały

  https://en.wikipedia.org/wiki/Shanks_transformation

• Kod: Zaznacz cały

  https://en.wikipedia.org/wiki/Aitken%27s_delta-squared_process

tylko te metody też czasem mają swoje ograniczenia. Przykładowo szereg, który się przyspiesza, musi być naprzemienny.

[Yaroo10]

Przytoczę pewien przykład:
Example usage

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Power_series_solution_of_differential_equations

\(\displaystyle{ \frac{d ^{2}y }{dy ^{2} } -2x \frac{dy}{dx} + y = 0 }\)

Rozwiązaniem jest szereg: \(\displaystyle{ y = \sum_{k=0}^{+ \infty } A _{k} \cdot x ^{k} }\)

Pierwsza pochodna to: \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = \sum_{k=1}^{+ \infty } k \cdot A _{k} \cdot x ^{k-1} }\)

Druga pochodna to: \(\displaystyle{ \frac{d ^{2} y}{dx ^{2} } = \sum_{k=2}^{+ \infty } k \cdot (k - 1) \cdot A _{k} \cdot x ^{k-2}}\)

Podstawiając wszystko do wstępnego równania, mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{+ \infty } k \cdot (k - 1) \cdot A _{k} \cdot x ^{k-2} - 2x \cdot \sum_{k=1}^{+ \infty } k \cdot A _{k} \cdot x ^{k-1} + \sum_{k=0}^{+ \infty } A _{k} \cdot x ^{k} = 0}\)

Nieco manipulując sumami możemy doprowadzić do stworzenia jednej sumy:
\(\displaystyle{ 2A _{2} + A _{0} + \sum_{k=1}^{+ \infty } \left( (k+2) \cdot (k + 1) \cdot A _{k+2} + (1 - 2k) \cdot A _{k}\right) \cdot x ^{k} = 0}\)

Współczynniki odpowiednio przy \(\displaystyle{ x ^{0} }\), \(\displaystyle{ x ^{1} }\), \(\displaystyle{ x ^{2} }\) ... muszą być równe zero, aby funkcja spełniała równanie różniczkowe. Daje to nam informacje na temat współczynników, jakie powinny być:
\(\displaystyle{ 2A _{2} + A _{0} = 0 }\)
\(\displaystyle{ (k+2) \cdot (k + 1) \cdot A _{k+2} + (1 - 2k) \cdot A _{k} = 0}\)

Mamy zatem:
\(\displaystyle{ A _{2} = - \frac{1}{2} A _{0} }\)
\(\displaystyle{ A _{3} = \frac{1}{6} A _{1} }\)
\(\displaystyle{ A _{4} = - \frac{1}{8}A _{0} }\)
\(\displaystyle{ A _{5} = \frac{1}{24} A _{1} }\)
\(\displaystyle{ A _{6} = - \frac{7}{240} A _{0} }\)
\(\displaystyle{ A _{7} = \frac{1}{112} A _{1} }\)

A szukana funkcja będzie wyglądała, tak:
\(\displaystyle{ y = A _{0} \left( 1 - \frac{1}{2} x ^{2} - \frac{1}{8} x ^{4} - \frac{7}{240} x ^{6} - ... \right) + A _{1} \left( x + \frac{1}{6}x ^{3} + \frac{1}{24} x ^{5} + \frac{1}{112} x ^{7} + ... \right) }\)

Teraz chcaiłbym ją przetworzyć na szeregi szybko zbieżne, jak np. szereg hipergeometryczny:

\(\displaystyle{ y = _{2}F _{1} (a,b;c;x) =\\= \sum_{n=0}^{+ \infty } \frac{(a) _{n} \cdot (b) _{n} }{(c) _{n} } \cdot \frac{x ^{n} }{n!} = 1 + \frac{a \cdot b}{c} \cdot \frac{x}{1!} + \frac{a \cdot (a+1) \cdot b \cdot (b+1)}{c \cdot (c+1)} \cdot \frac{x ^{2} }{2!} + \frac{a \cdot (a+1) \cdot (a+2) \cdot b \cdot (b+1) \cdot (b+2)}{c \cdot (c+1) \cdot (c+2)} \cdot \frac{x ^{3} }{3!} + ... }\)

Moje pytanie, jak się odnajduje liczby \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\), \(\displaystyle{ c}\) dla takiego szeregu? Proszę tylko nie mylić ich z funkcjami w równaniu różniczkowym tj. \(\displaystyle{ a(x),b(x),c(x).}\)

Na wikipedii można znaleźć, że:
\(\displaystyle{ K(k) = \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \frac{d \phi}{ \sqrt{1 - k ^{2} \sin ^{2} \phi } } = \frac{\pi}{2} \cdot F\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}; 1; k ^{2} \right) = \frac{\pi}{2} \left( 1 + \frac{1}{4} k ^{2} + \frac{9}{64} k ^{4} + \frac{25}{256} k ^{6} + ... \right) }\)

Co umożliwia już nam dosyć dokładnie symulować zahowanie się wahadła. Jednak skąd wzięły się tu liczby \(\displaystyle{ a= \frac{1}{2} }\), \(\displaystyle{ b = \frac{1}{2} }\), \(\displaystyle{ c = 1}\)?

[Janusz Tracz]

Szczerze mówiąc to trochę nie zrozumiem pytania, każdy Twój post jest o czymś innym i nie jestem pewien, czy umiem sensownie odpowiadać, tak aby faktycznie coś z tego wynikało (być może to jest tylko mój problem). Ale spróbuje w kilku punktach opowiedzieć, co tu się mniej więcej dzieje i jak ja to widzę.

• Przykład z Wiki jest bardzo sprytnie dobrany. Rozważania nad wartościami własnymi pewnych (ale nie kompletnie losowych, ich postać też skądś wynika) operatorów różniczkowych doprowadziły do problemów rozwiązywania równań różniczkowych w pewnej szczególnej postaci. Funkcje wynikowe są funkcjami własnymi takich operatorów i nie bez przyczyny są nazywane wielomianami ortogonalnymi. To równanie właśnie pochodzi od takiego problemu własnego, a konkretnie pewna część stanowiąca rozwiązanie równania
  
  
  \(\displaystyle{ u''-2xu'+2\lambda u=0}\)
  
  jest nazywana wielomianem (ortogonalnym) Hermite'a. Tu kładąc \(\displaystyle{ \lambda=1/2}\) dostaniesz dokładnie równanie z Wiki. Zobacz tu

  Kod: Zaznacz cały

  https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials#Hermite%27s_differential_equation

  . Jest tam napisane, że rozwiązanie ogólne jest kombinacją liniową właśnie \(\displaystyle{ H_{1/2}}\) z pewną funkcją. I tu warto zauważyć, że zamiast robić to dalej szeregiem można posłużyć się metodą, która przytoczyłem w pierwszym poście. Tak prawdomównie można stwierdzić, że drugie liniowo niezależne rozwiązanie tego równania to szereg hipergeometryczny \(\displaystyle{ h_{\lambda }(x)={}_{1}F_{1}(-{\tfrac {\lambda }{2}};{\tfrac {1}{2}};x^{2})}\). Tu konkretnie będzie to
  
  
  \(\displaystyle{ h_{1/2}(x)={}_{1}F_{1}(-{\tfrac {1}{4}};{\tfrac {1}{2}};x^{2}).}\)
  
  Nie zdziwiłbym się, gdyby autorzy artykułu na Wiki znali ten wynik wcześniej i tak dobrali równanie aby na koniec magicznie stwierdzić, że te fakty zachodzą. Jak widać żadnych szeregów po drodze nie było.

• Co do zapisywania rozwiązania jako szereg hipergeometryczny to czasem się da, a czasem nie. Po to napisałem punkt pierwszy abyś widział, że kawałkiem rozwiązania jest naturalnie szereg hipergeometryczny i dlatego autorzy wpadli na magicznie wyglądający pomysł zapisania odpowiedzi za pomocą takiego szeregu. Oczywiście można tu polemizować i powiedzieć, że ten pomysł jest naturalny, ale powiedzmy sobie szczerze, że nie jest wielce oczywiste, aby akurat wpaść na szereg hipergeometryczny. A już na pewno nie powiedziałbym, że szeregów hipergeometrycznych używa się tu, aby przyspieszyć zbieżność.

• Twoje kolejne pytanie to jak odnajduje się taki szereg i jego współczynniki. No w zasadzie to nie ma jednej ogólnej metody. Trochę szczęścia potrzeba, aby się w ogóle dało. A jak się da, to się przekształca do postaci szeregu hipergeometrycznego aż się uda. Tu znów podejrzewam, że autorzy wiedzieli, które wyrazy wydzielić aby ładnie wyszło.

• No i na koniec temat całki eliptycznej. Nie do końca widzę związek z równaniem, ale z szeregiem faktycznie ma to jakiś związek. A konkretnie szeregi hipergeometryczne są bardzo ogólne i pozwalają zapisać wiele funkcji i ludzie, którzy się tym zajmują wiedza, że całki eliptyczne też się da. Jak by mi ktoś kazał zapisać całkę eliptyczną pierwszego rodzaju \(\displaystyle{ K(k)}\) jako szeregów hipergeometryczny, to zrobiłbym mniej więcej coś takiego
  \begin{split}
  K(k) & = \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \frac{1}{ \sqrt{1 - k ^{2} \sin ^{2} \phi } } \, \dd \phi \\
  & = \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } (1 - k ^{2} \sin ^{2} \phi)^{-1/2} \, \dd \phi \\
  &= \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \sum _{n=0}^{\infty }{-1/2 \choose n}(-1)^nk^{2n}\sin^{2n}\phi \, \dd \phi \\
  &= \sum _{n=0}^{\infty } (-1)^n \frac{\left( -\tfrac{1}{2} \right) _n}{n!} k^{2n}\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \sin^{2n}\phi \, \dd \phi \\
  &= \sum _{n=0}^{\infty } \frac{\left( \tfrac{1}{2} \right) _n}{n!} k^{2n}\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \sin^{2n}\phi \, \dd \phi \\
  &= \sum _{n=0}^{\infty } \frac{\left( \tfrac{1}{2} \right) _n}{n!} k^{2n} \frac{1}{2} B\left( \frac{2n+1}{2}, \frac{1}{2} \right) \\
  &= \sum _{n=0}^{\infty } \frac{\left( \tfrac{1}{2} \right) _n}{n!} k^{2n} \frac{1}{2} \frac{\Gamma\left( \frac{2n+1}{2} \right) \Gamma\left( \frac{1}{2} \right) }{\Gamma \left( \frac{2n+1}{2} + \frac{1}{2} \right) } \\
  &= \sum _{n=0}^{\infty } \frac{\left( \tfrac{1}{2} \right) _n}{n!} k^{2n} \frac{1}{2} \frac{\Gamma\left( n+ \frac{1}{2} \right) \Gamma\left( \frac{1}{2} \right) }{\Gamma \left(n+1 \right) } \\
  &= \sum _{n=0}^{\infty } \frac{\left( \tfrac{1}{2} \right) _n}{n!} k^{2n} \frac{1}{2} \frac{ \frac{(2n-1)!!}{2^n} \sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\pi} }{n!} \\
  &= \frac{\pi}{2} \sum _{n=0}^{\infty } \frac{\left( \tfrac{1}{2} \right) _n}{n!} k^{2n} \frac{ \frac{(2n-1)!!}{2^n} }{n!} \\
  &= \frac{\pi}{2} \sum _{n=0}^{\infty } \frac{\left( \red{\tfrac{1}{2}} \right) _n\left( \blue{\tfrac{1}{2}} \right) _n}{(\green{1} )_n} \frac{ \orange{k}^{\orange{2}n} }{n!} = \boxed{ \frac{\pi}{2} {}_2F_1\left( \red{ \frac{1}{2} }, \blue{ \frac{1}{2} },\green{1},\orange{k^2} \right) }
  \end{split}
  Przy czym po drodze mniej więcej w kolejności chronologicznej korzystam z

  Kod: Zaznacz cały

  https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem#Newton%27s_generalized_binomial_theorem

  , trygonometrycznej postaci funkcji Beta Eulera, związku Bety z Gamma Eulera, faktów o Gammie Eulera pozwalającej przedstawiać niektóre wartości jawnie i ogólnie notacji Pochhammer silni rosnącej. To odpowiada skąd liczby \(\displaystyle{ 1/2,1/2,1}\).

[Yaroo10]

Na temat szergu hipergeometrycznego napisałeś wyczerpująco, dziękuję. Już teraz widzę, że to tylko notacja, którą się towrzy jedynie w jedynm kierunku (tj. u Ciebie z rozwinięcia uogólnionego dwumianiu Newtona), a później można ją co najwyżej odtworzyć pobierając z np. Tabeli konkretne \(\displaystyle{ a}\),\(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\) dla konkretnej funkcji.

Czy moglibyśmy znaleźć rozwiązanie równania poniżej?
\(\displaystyle{ a(x) \frac{d ^{2} y }{dx ^{2} } + b(x) \frac{dy}{dx} + c(x) y = 0 }\)

A co sądzicie o takim sposobie?
\(\displaystyle{ y= \sum_{k=0}^{+ \infty } A _{k} x ^{k} }\)

Pierwsza pochodna: \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = \sum_{k=1}^{+ \infty } k A _{k} x ^{k-1} }\)
Druga pochodna: \(\displaystyle{ \frac{d ^{2}y }{dx ^{2} } = \sum_{k=2}^{+ \infty } k(k-1) A _{k} x ^{k-2} }\)

Podstawiając do równania różniczkowego:
\(\displaystyle{ a(x) \cdot \sum_{k=2}^{+ \infty } k(k-1) A _{k} x ^{k-2} + b(x) \cdot \sum_{k=1}^{+ \infty } k A _{k} x ^{k-1} + c(x) \cdot \sum_{k=0}^{+ \infty } A _{k} x ^{k} = 0 }\)

Modyfikując do jednej sumy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{+ \infty } \left( a(x) \cdot (k+2) \cdot (k+1) \cdot A _{k+2} + b(x) \cdot (k+1) \cdot A _{k+1} + c(x) \cdot A _{k} \right) x ^{k} = 0 }\)

Współczynniki zeruję:
\(\displaystyle{ a(x) \cdot (k+2) \cdot (k+1) \cdot A _{k+2} + b(x) \cdot (k+1) \cdot A _{k+1} + c(x) \cdot A _{k} = 0}\)

\(\displaystyle{ A _{0} }\) i \(\displaystyle{ A _{1} }\) można znaleźć z warunków początkowych (brzegowych)

\(\displaystyle{ y = A _{0} \left( 1 - \frac{c(x)}{2a(x)} x ^{2} + \frac{b(x) \cdot c(x)}{6a ^{2}(x) } x ^{3} - \frac{b ^{2}(x) \cdot c(x) - a(x) \cdot c ^{2}(x) }{24a ^{3}(x) } x ^{4} +... \right) + A _{1} \cdot \left( x - \frac{b(x)}{2a(x)} x ^{2} + \frac{b ^{2}(x) - a(x) \cdot c(x) }{6a ^{2}(x) } x ^{3} - \frac{b ^{3}(x) - 2a(x)b(x)c(x) }{24a ^{3}(x) } x ^{4} + ... \right) }\)

Czy takie coś byłoby dopuszczalne?

[Janusz Tracz]

Modyfikując do jednej sumy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{+ \infty } \left( a(x) \cdot (k+2) \cdot (k+1) \cdot A _{k+2} + b(x) \cdot (k+1) \cdot A _{k+1} + c(x) \cdot A _{k} \right) x ^{k} = 0 }\)

Współczynniki zeruję:
\(\displaystyle{ a(x) \cdot (k+2) \cdot (k+1) \cdot A _{k+2} + b(x) \cdot (k+1) \cdot A _{k+1} + c(x) \cdot A _{k} = 0}\)

To przejście jest podejrzane i moim zdaniem niepoprawne. Gdy wnioskujesz zerowanie się współczynników zwykle robisz to dla szeregu potęgowego korzystając ze wszystkich dobrodziejstw szeregów potegowych. Tu jednak nie masz szeregu potęgowego więc taki pomysł zawodzi. Zresztą można wpaść na przykład

\(\displaystyle{ -\frac{1}{x} \red{x} +\frac{1}{x^2} \red{x^2}+0 \red{x^3}+0 \red{x^4}+...=0 }\)

szereg taki jak Twój dla każdego sensownego \(\displaystyle{ x}\) faktycznie jest zero ale nie oznacza to, że współczynniki to zera.

[Yaroo10]

Czy moglibyśmy znaleźć rozwiązanie równania poniżej?
\(\displaystyle{ a(x) \frac{d ^{2} y }{dx ^{2} } + b(x) \frac{dy}{dx} + c(x) y = 0 }\)

Mój ostatni pomysł na rozwiązanie takiego równania w postaci szeregu.... Czy jest poprawny?
Współczynniki przedstawiam w postaci szeregów:
\(\displaystyle{ a(x)= \sum_{m=0}^{+ \infty } A _{m}x ^{m} }\)
\(\displaystyle{ b(x)= \sum_{k=0}^{+ \infty } B _{k}x ^{k} }\)
\(\displaystyle{ c(x)= \sum_{j=0}^{+ \infty } C _{j} x ^{j} }\)
Oraz rozwiązanie narzucam w postaci szeregu:
\(\displaystyle{ y= \sum_{i=0}^{+ \infty } D _{i} x ^{i} }\)
Podstawiając wszystko do równania różniczkowego, mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{m=0}^{+ \infty } A _{m}x ^{m} \cdot \sum_{i=2}^{+ \infty }i(i-1) D _{i} x ^{i-2} + \sum_{k=0}^{+ \infty } B _{k}x ^{k} \cdot \sum_{i=1}^{+ \infty } iD _{i} x ^{i-1} + \sum_{j=0}^{+ \infty } C _{j} x ^{j} \cdot \sum_{i=0}^{+ \infty } D _{i} x ^{i} =0 }\)
Przesuwając sumy, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \sum_{m=0}^{+ \infty } A _{m}x ^{m} \cdot \sum_{i=0}^{+ \infty }(i+2)(i+1) D _{i+2} x ^{i} + \sum_{k=0}^{+ \infty } B _{k}x ^{k} \cdot \sum_{i=0}^{+ \infty } (i+1)D _{i+1} x ^{i} + \sum_{j=0}^{+ \infty } C _{j} x ^{j} \cdot \sum_{i=0}^{+ \infty } D _{i} x ^{i} =0 }\)
Rozważmy ostatni iloczyn:
\(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{+ \infty } C _{j} x ^{j} \cdot \sum_{i=0}^{+ \infty } D _{i} x ^{i} = (C _{0} x ^{0} + C _{1}x ^{1} + C _{2} x ^{2} +... + C _{j}x ^{j} ) \cdot (D _{0}x ^{0} +D _{1}x ^{1} +D _{2} x ^{2} +...+ D _{i} x ^{i} ) = (C _{0}D _{0} )x ^{0} + (C _{0} D _{1} + C _{1} D _{0} )x ^{1} + (C _{0} D _{2} + C _{1}D _{1} + C _{2} D _{0} ) x ^{2} + ... }\)
\(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{+ \infty } C _{j} x ^{j} \cdot \sum_{i=0}^{+ \infty } D _{i} x ^{i} = \sum_{n=0}^{+ \infty } \left( \left( \sum_{i=0}^{n} C _{i} D _{n-i} \right) \cdot x ^{n} \right) = \left( \sum_{i=0}^{0} C _{i}D _{0-i} \right) x ^{0} + \left( \sum_{i=0}^{1} C _{i}D _{1-i} \right) x ^{1} +\left( \sum_{i=0}^{2} C _{i}D _{2-i} \right) x ^{2} + ... }\)
Następnie środkowy iloczyn:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{+ \infty } B _{k}x ^{k} \cdot \sum_{i=0}^{+ \infty } (i+1)D _{i+1} x ^{i} = (B _{0}x ^{0} + B _{1}x ^{1} +B _{2}x ^{2} + ... + B _{k} x ^{k} ) \cdot (D _{1}x ^{0} + D _{2} x ^{1} + D _{3} x ^{2} +... + (i+1)D _{i+1} x ^{i} ) = (B _{0} D _{1} ) x ^{0} + (2B _{0}D _{2} +B _{1} D _{1} ) x ^{1} + (3B _{0}D _{3}+2B _{1} D _{2} + B _{2} D _{1} ) x ^{2} + ... }\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{+ \infty } B _{k}x ^{k} \cdot \sum_{i=0}^{+ \infty } (i+1)D _{i+1} x ^{i} = \sum_{n=0}^{+ \infty } \left( \left( (n+1-i)B _{i} D _{n+1-i} \right) x ^{n} \right) = \left( \sum_{i=0}^{0} (0+1-i)B _{i} D _{0+1-i} \right) x ^{0} +\left( \sum_{i=0}^{1} (1+1-i)B _{i} D _{1+1-i} \right) x ^{1} +... }\)
Teraz czas na pierwszy iloczyn:
\(\displaystyle{ \sum_{m=0}^{+ \infty } A _{m}x ^{m} \cdot \sum_{i=0}^{+ \infty }(i+2)(i+1) D _{i+2} x ^{i} = (A _{0}x ^{0} + A _{1}x ^{1} +A _{2}x ^{2} + ... + A _{m}x ^{m}) \cdot (2D _{2}x ^{0} + 6D _{3}x ^{1} + 12D _{4}x ^{2} + ... +(i+2)(i+1)D _{i+2}x ^{i} ) = (2A _{0} D _{2} ) x ^{0} + (6A _{0} D _{3} +2A _{1} D _{2} )x ^{1} + (12A _{0}D _{4} + 6A _{1} D _{3} + 2 A _{2} D _{2} ) x ^{2} +... }\)
\(\displaystyle{ \sum_{m=0}^{+ \infty } A _{m}x ^{m} \cdot \sum_{i=0}^{+ \infty }(i+2)(i+1) D _{i+2} x ^{i} = \sum_{n=0}^{+ \infty } \left( \sum_{i=0}^{n} \left( (n+2 -i) (n+1 - i) A _{i} D _{n+2-i} \right) x ^{n} \right) = \left( \sum_{i=0}^{0} (0+2-i)(0+1-i)A _{i}D _{0+2-i} \right) \cdot x ^{0} +\left( \sum_{i=0}^{1} (1+2-i)(1+1-i)A _{i}D _{1+2-i} \right) \cdot x ^{1}+... }\)
Otrzymujemy ostatecznie:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{+ \infty } \left( \sum_{i=0}^{n} \left( (n+2 -i) (n+1 - i) A _{i} D _{n+2-i} \right) x ^{n} \right) + \sum_{n=0}^{+ \infty } \left( \left( (n+1-i)B _{i} D _{n+1-i} \right) x ^{n} \right)+\sum_{n=0}^{+ \infty } \left( \left( \sum_{i=0}^{n} C _{i} D _{n-i} \right) \cdot x ^{n} \right)=0 }\)
Wyciągam wpsólny znak sumy przed nawias:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{+ \infty } \left( \sum_{i=0}^{n} \left( (n+2 -i) (n+1 - i) A _{i} D _{n+2-i}+ (n+1-i)B _{i} D _{n+1-i} + C _{i} D _{n-i} \right) x ^{n} \right) =0 }\)
Zerujemy współczynniki, to jedyna ogólna możliwość, aby spełniać równanie
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n} \left( (n+2 -i) (n+1 - i) A _{i} D _{n+2-i}+ (n+1-i)B _{i} D _{n+1-i} + C _{i} D _{n-i} \right) = 0}\)
\(\displaystyle{ D _{0} }\) oraz \(\displaystyle{ D _{1} }\) otrzymamy z warunków początkowych (brzegowych)
Dla \(\displaystyle{ n=0}\)
\(\displaystyle{ D _{2} = - \frac{C _{0} }{2A _{0} } D _{0} - \frac{B _{0} }{2A _{0} } D _{1} }\)
Dla \(\displaystyle{ n=3}\)
\(\displaystyle{ D _{3} = - \frac{B _{0} C _{0} + A _{1} C _{0} + C _{1} }{6A _{0} ^{2} } D _{0} - \frac{B _{0} ^{2} + A _{1} B _{0} + B _{1} + C _{0} }{6A _{0} ^{2}} D _{1} }\)

Rozwiązanie przyjmuje wstępną formę w postaci:
\(\displaystyle{ y=D _{}x ^{0} + D _{1} x ^{1} + D _{2} x ^{2} + D _{3} x ^{3} + ... = \left( 1 - \frac{C _{0} }{2 A _{0} }x ^{2} - \frac{B _{0} C _{0} + A _{1} C _{0} + C _{1} }{6A _{0} ^{2} }x ^{3} - ... \right) D _{0} + \left( x - \frac{B _{0} }{2A _{0} } x ^{2} - \frac{B _{0} ^{2} + A _{1} B _{0} + B _{1} + C _{0} }{6A _{0} ^{2}} x ^{3} - ... \right) D _{1} }\)

... i tak dla przykładu:
\(\displaystyle{ \frac{d ^{2}y }{dx ^{2} } - 2x \frac{dy}{dx} + y = 0 }\)
Mamy \(\displaystyle{ A _{0} =1}\), \(\displaystyle{ B _{1} = -2 }\), \(\displaystyle{ C _{0} = 1 }\), a pozostałe \(\displaystyle{ A _{i} }\),\(\displaystyle{ B _{i} }\),\(\displaystyle{ C _{i} }\) są zerowe.

Dodano po 3 godzinach 37 minutach 8 sekundach:

\(\displaystyle{ D _{3} = - \frac{B _{0} C _{0} + A _{1} C _{0} + C _{1} }{6A _{0} ^{2} } D _{0} - \frac{B _{0} ^{2} + A _{1} B _{0} + B _{1} + C _{0} }{6A _{0} ^{2}} D _{1} }\)

Mała pomyłka, powinno być:
\(\displaystyle{ D _{3} = - \frac{ A _{0} C _{1} - B _{0} C _{0} - A _{1} C _{0} }{6A _{0} ^{2} } D _{0} + \frac{B _{0} ^{2} + A _{1} B _{0} - A _{0} B _{1} - A _{0} C _{0} }{6A _{0} ^{2}} D _{1} }\)

Rozwiązanie przyjmuje wstępną formę w postaci:
\(\displaystyle{ y=D _{0}x ^{0} + D _{1} x ^{1} + D _{2} x ^{2} + D _{3} x ^{3} + ... = \left( 1 - \frac{C _{0} }{2 A _{0} }x ^{2} - \frac{ A _{0} C _{1} - B _{0} C _{0} - A _{1} C _{0} }{6A _{0} ^{2} }x ^{3} - ... \right) D _{0} + \left( x - \frac{B _{0} }{2A _{0} } x ^{2} - \frac{B _{0} ^{2} + A _{1} B _{0} - A _{0} B _{1} - A _{0} C _{0} }{6A _{0} ^{2}} x ^{3} - ... \right) D _{1} }\)

[Janusz Tracz]

Tak takie podejście w którym faktycznie masz szeregi potęgowe jest ok.

PS rachunków nie sprawdzam ale pomysł co do idei wydaje się być dobry. Być może techniczne szczegóły trzeba dopracować bo nie zawsze iloczyn szeregów to taka banalna sprawa. Chodzi mi o kwestie zbieżności. Poza tym jak widać rachunki stają się powoli nieprzyjemne.

[Yaroo10]

Tak, rachunki stają się dość złożone, jednak powoli zauważam pewne zależności, jednak jeszcze sporo pracy przede mną, aby znaleźć wzory na sumy...
\(\displaystyle{ y = \left( \sum_{n=0}^{+ \infty } \left( ?\right) \cdot x ^{n} \right) \cdot D _{0} + \left( \sum_{n=0}^{+ \infty } \left( ?\right) \cdot x ^{n} \right) \cdot D _{1} }\)
Tak, że temat pozsotaje otwarty

[Janusz Tracz]

Z ciekawości wpisałem to do Mathematiki. Uważam, że rozwiązanie problemu

\(\displaystyle{ \begin{cases} a(x)y''+b(x)y'+c(x)y=0\\ y(0)=\xi \\ y'(0)=\eta \end{cases} }\)

w postaci szeregu przedstawia się następująco

\begin{align*}
y(x)& =\xi \\
&\,+\eta x \\
&\,+ \frac{1}{2} \left(-\frac{b(0) \eta }{a(0)}-\frac{c(0) \xi }{a(0)}\right)x^2\\
&\,+ \frac{1}{6} \left(-\frac{\eta \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\xi \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{b(0) \left(-\frac{b(0) \eta }{a(0)}-\frac{c(0) \xi }{a(0)}\right)}{a(0)}-\frac{c(0) \eta }{a(0)}\right) x^3\\
&\, +...
\end{align*}

wyrazy wyższych rzędów

4:    

\(\displaystyle{ \frac{1}{12} x^4 \left(-\frac{b(0) \left(-\frac{\eta \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\xi \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{b(0) \left(-\frac{b(0) \eta }{a(0)}-\frac{c(0) \xi }{a(0)}\right)}{a(0)}-\frac{c(0) \eta }{a(0)}\right)}{2 a(0)}-\frac{\left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right) \left(-\frac{b(0) \eta }{a(0)}-\frac{c(0) \xi }{a(0)}\right)}{a(0)^2}-\frac{\eta \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\eta \left(-a(0) b(0) a''(0)-2 a(0) a'(0) b'(0)+2 b(0) a'(0)^2+a(0)^2 b''(0)\right)}{2 a(0)^3}-\frac{\xi \left(-a(0) c(0) a''(0)-2 a(0) a'(0) c'(0)+2 c(0) a'(0)^2+a(0)^2 c''(0)\right)}{2 a(0)^3}-\frac{c(0) \left(-\frac{b(0) \eta }{a(0)}-\frac{c(0) \xi }{a(0)}\right)}{2 a(0)}\right)}\)

5:    

\(\displaystyle{ \frac{1}{20} x^5 \left(-\frac{\left(-\frac{\left(-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) b(0)}{a(0)}-\frac{\eta c(0)}{a(0)}-\frac{\eta \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\xi \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}\right) b(0)}{2 a(0)}-\frac{c(0) \left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right)}{2 a(0)}-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\eta \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\eta \left(b''(0) a(0)^2-2 a'(0) b'(0) a(0)-b(0) a''(0) a(0)+2 b(0) a'(0)^2\right)}{2 a(0)^3}-\frac{\xi \left(c''(0) a(0)^2-2 a'(0) c'(0) a(0)-c(0) a''(0) a(0)+2 c(0) a'(0)^2\right)}{2 a(0)^3}\right) b(0)}{3 a(0)}-\frac{c(0) \left(-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) b(0)}{a(0)}-\frac{\eta c(0)}{a(0)}-\frac{\eta \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\xi \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}\right)}{6 a(0)}-\frac{\left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right) \left(-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) b(0)}{a(0)}-\frac{\eta c(0)}{a(0)}-\frac{\eta \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\xi \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}\right)}{2 a(0)^2}-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{2 a(0)^2}-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) \left(b''(0) a(0)^2-2 a'(0) b'(0) a(0)-b(0) a''(0) a(0)+2 b(0) a'(0)^2\right)}{2 a(0)^3}-\frac{\eta \left(c''(0) a(0)^2-2 a'(0) c'(0) a(0)-c(0) a''(0) a(0)+2 c(0) a'(0)^2\right)}{2 a(0)^3}-\frac{\eta \left(b^{(3)}(0) a(0)^3-3 b'(0) a''(0) a(0)^2-3 a'(0) b''(0) a(0)^2-b(0) a^{(3)}(0) a(0)^2+6 a'(0)^2 b'(0) a(0)+6 b(0) a'(0) a''(0) a(0)-6 b(0) a'(0)^3\right)}{6 a(0)^4}-\frac{\xi \left(c^{(3)}(0) a(0)^3-3 c'(0) a''(0) a(0)^2-3 a'(0) c''(0) a(0)^2-c(0) a^{(3)}(0) a(0)^2+6 a'(0)^2 c'(0) a(0)+6 c(0) a'(0) a''(0) a(0)-6 c(0) a'(0)^3\right)}{6 a(0)^4}\right)}\)

6:    

\(\displaystyle{ \frac{1}{30} x^6 \left(-\eta \left(\frac{\left(2 a'(0)^2-a(0) a''(0)\right) b''(0)}{4 a(0)^3}+\frac{b'(0) \left(-6 a'(0)^3+6 a(0) a''(0) a'(0)-a(0)^2 a^{(3)}(0)\right)}{6 a(0)^4}+\frac{b(0) \left(24 a'(0)^4-36 a(0) a''(0) a'(0)^2+8 a(0)^2 a^{(3)}(0) a'(0)+6 a(0)^2 a''(0)^2-a(0)^3 a^{(4)}(0)\right)}{24 a(0)^5}+\frac{b^{(4)}(0)}{24 a(0)}-\frac{a'(0) b^{(3)}(0)}{6 a(0)^2}\right)-\xi \left(\frac{\left(2 a'(0)^2-a(0) a''(0)\right) c''(0)}{4 a(0)^3}+\frac{c'(0) \left(-6 a'(0)^3+6 a(0) a''(0) a'(0)-a(0)^2 a^{(3)}(0)\right)}{6 a(0)^4}+\frac{c(0) \left(24 a'(0)^4-36 a(0) a''(0) a'(0)^2+8 a(0)^2 a^{(3)}(0) a'(0)+6 a(0)^2 a''(0)^2-a(0)^3 a^{(4)}(0)\right)}{24 a(0)^5}+\frac{c^{(4)}(0)}{24 a(0)}-\frac{a'(0) c^{(3)}(0)}{6 a(0)^2}\right)-\frac{b(0) \left(-\frac{\left(-\frac{\left(-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) b(0)}{a(0)}-\frac{\eta c(0)}{a(0)}-\frac{\eta \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\xi \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}\right) b(0)}{2 a(0)}-\frac{c(0) \left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right)}{2 a(0)}-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\eta \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\eta \left(b''(0) a(0)^2-2 a'(0) b'(0) a(0)-b(0) a''(0) a(0)+2 b(0) a'(0)^2\right)}{2 a(0)^3}-\frac{\xi \left(c''(0) a(0)^2-2 a'(0) c'(0) a(0)-c(0) a''(0) a(0)+2 c(0) a'(0)^2\right)}{2 a(0)^3}\right) b(0)}{3 a(0)}-\frac{c(0) \left(-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) b(0)}{a(0)}-\frac{\eta c(0)}{a(0)}-\frac{\eta \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\xi \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}\right)}{6 a(0)}-\frac{\left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right) \left(-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) b(0)}{a(0)}-\frac{\eta c(0)}{a(0)}-\frac{\eta \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\xi \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}\right)}{2 a(0)^2}-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{2 a(0)^2}-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) \left(b''(0) a(0)^2-2 a'(0) b'(0) a(0)-b(0) a''(0) a(0)+2 b(0) a'(0)^2\right)}{2 a(0)^3}-\frac{\eta \left(c''(0) a(0)^2-2 a'(0) c'(0) a(0)-c(0) a''(0) a(0)+2 c(0) a'(0)^2\right)}{2 a(0)^3}-\frac{\eta \left(b^{(3)}(0) a(0)^3-3 b'(0) a''(0) a(0)^2-3 a'(0) b''(0) a(0)^2-b(0) a^{(3)}(0) a(0)^2+6 a'(0)^2 b'(0) a(0)+6 b(0) a'(0) a''(0) a(0)-6 b(0) a'(0)^3\right)}{6 a(0)^4}-\frac{\xi \left(c^{(3)}(0) a(0)^3-3 c'(0) a''(0) a(0)^2-3 a'(0) c''(0) a(0)^2-c(0) a^{(3)}(0) a(0)^2+6 a'(0)^2 c'(0) a(0)+6 c(0) a'(0) a''(0) a(0)-6 c(0) a'(0)^3\right)}{6 a(0)^4}\right)}{4 a(0)}-\frac{c(0) \left(-\frac{\left(-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) b(0)}{a(0)}-\frac{\eta c(0)}{a(0)}-\frac{\eta \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\xi \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}\right) b(0)}{2 a(0)}-\frac{c(0) \left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right)}{2 a(0)}-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\eta \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\eta \left(b''(0) a(0)^2-2 a'(0) b'(0) a(0)-b(0) a''(0) a(0)+2 b(0) a'(0)^2\right)}{2 a(0)^3}-\frac{\xi \left(c''(0) a(0)^2-2 a'(0) c'(0) a(0)-c(0) a''(0) a(0)+2 c(0) a'(0)^2\right)}{2 a(0)^3}\right)}{12 a(0)}-\frac{\left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right) \left(-\frac{\left(-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) b(0)}{a(0)}-\frac{\eta c(0)}{a(0)}-\frac{\eta \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\xi \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}\right) b(0)}{2 a(0)}-\frac{c(0) \left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right)}{2 a(0)}-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\eta \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\eta \left(b''(0) a(0)^2-2 a'(0) b'(0) a(0)-b(0) a''(0) a(0)+2 b(0) a'(0)^2\right)}{2 a(0)^3}-\frac{\xi \left(c''(0) a(0)^2-2 a'(0) c'(0) a(0)-c(0) a''(0) a(0)+2 c(0) a'(0)^2\right)}{2 a(0)^3}\right)}{3 a(0)^2}-\frac{\left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right) \left(-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) b(0)}{a(0)}-\frac{\eta c(0)}{a(0)}-\frac{\eta \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\xi \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}\right)}{6 a(0)^2}-\frac{\left(-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) b(0)}{a(0)}-\frac{\eta c(0)}{a(0)}-\frac{\eta \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\xi \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}\right) \left(b''(0) a(0)^2-2 a'(0) b'(0) a(0)-b(0) a''(0) a(0)+2 b(0) a'(0)^2\right)}{4 a(0)^3}-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) \left(c''(0) a(0)^2-2 a'(0) c'(0) a(0)-c(0) a''(0) a(0)+2 c(0) a'(0)^2\right)}{4 a(0)^3}-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) \left(b^{(3)}(0) a(0)^3-3 b'(0) a''(0) a(0)^2-3 a'(0) b''(0) a(0)^2-b(0) a^{(3)}(0) a(0)^2+6 a'(0)^2 b'(0) a(0)+6 b(0) a'(0) a''(0) a(0)-6 b(0) a'(0)^3\right)}{6 a(0)^4}-\frac{\eta \left(c^{(3)}(0) a(0)^3-3 c'(0) a''(0) a(0)^2-3 a'(0) c''(0) a(0)^2-c(0) a^{(3)}(0) a(0)^2+6 a'(0)^2 c'(0) a(0)+6 c(0) a'(0) a''(0) a(0)-6 c(0) a'(0)^3\right)}{6 a(0)^4}\right)}\)

7:    

\(\displaystyle{ \frac{1}{42} x^7 \left(-\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) \left(\frac{\left(2 a'(0)^2-a(0) a''(0)\right) b''(0)}{4 a(0)^3}+\frac{b'(0) \left(-6 a'(0)^3+6 a(0) a''(0) a'(0)-a(0)^2 a^{(3)}(0)\right)}{6 a(0)^4}+\frac{b(0) \left(24 a'(0)^4-36 a(0) a''(0) a'(0)^2+8 a(0)^2 a^{(3)}(0) a'(0)+6 a(0)^2 a''(0)^2-a(0)^3 a^{(4)}(0)\right)}{24 a(0)^5}+\frac{b^{(4)}(0)}{24 a(0)}-\frac{a'(0) b^{(3)}(0)}{6 a(0)^2}\right)-\eta \left(\frac{\left(2 a'(0)^2-a(0) a''(0)\right) c''(0)}{4 a(0)^3}+\frac{c'(0) \left(-6 a'(0)^3+6 a(0) a''(0) a'(0)-a(0)^2 a^{(3)}(0)\right)}{6 a(0)^4}+\frac{c(0) \left(24 a'(0)^4-36 a(0) a''(0) a'(0)^2+8 a(0)^2 a^{(3)}(0) a'(0)+6 a(0)^2 a''(0)^2-a(0)^3 a^{(4)}(0)\right)}{24 a(0)^5}+\frac{c^{(4)}(0)}{24 a(0)}-\frac{a'(0) c^{(3)}(0)}{6 a(0)^2}\right)-\eta \left(\frac{b''(0) \left(-6 a'(0)^3+6 a(0) a''(0) a'(0)-a(0)^2 a^{(3)}(0)\right)}{12 a(0)^4}+\frac{\left(2 a'(0)^2-a(0) a''(0)\right) b^{(3)}(0)}{12 a(0)^3}+\frac{b'(0) \left(24 a'(0)^4-36 a(0) a''(0) a'(0)^2+8 a(0)^2 a^{(3)}(0) a'(0)+6 a(0)^2 a''(0)^2-a(0)^3 a^{(4)}(0)\right)}{24 a(0)^5}+\frac{b(0) \left(-120 a'(0)^5+240 a(0) a''(0) a'(0)^3-60 a(0)^2 a^{(3)}(0) a'(0)^2-90 a(0)^2 a''(0)^2 a'(0)+10 a(0)^3 a^{(4)}(0) a'(0)+20 a(0)^3 a''(0) a^{(3)}(0)-a(0)^4 a^{(5)}(0)\right)}{120 a(0)^6}+\frac{b^{(5)}(0)}{120 a(0)}-\frac{a'(0) b^{(4)}(0)}{24 a(0)^2}\right)-\xi \left(\frac{c''(0) \left(-6 a'(0)^3+6 a(0) a''(0) a'(0)-a(0)^2 a^{(3)}(0)\right)}{12 a(0)^4}+\frac{\left(2 a'(0)^2-a(0) a''(0)\right) c^{(3)}(0)}{12 a(0)^3}+\frac{c'(0) \left(24 a'(0)^4-36 a(0) a''(0) a'(0)^2+8 a(0)^2 a^{(3)}(0) a'(0)+6 a(0)^2 a''(0)^2-a(0)^3 a^{(4)}(0)\right)}{24 a(0)^5}+\frac{c(0) \left(-120 a'(0)^5+240 a(0) a''(0) a'(0)^3-60 a(0)^2 a^{(3)}(0) a'(0)^2-90 a(0)^2 a''(0)^2 a'(0)+10 a(0)^3 a^{(4)}(0) a'(0)+20 a(0)^3 a''(0) a^{(3)}(0)-a(0)^4 a^{(5)}(0)\right)}{120 a(0)^6}+\frac{c^{(5)}(0)}{120 a(0)}-\frac{a'(0) c^{(4)}(0)}{24 a(0)^2}\right)-\frac{c(0) \left(-\frac{\left(-\frac{\left(-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) b(0)}{a(0)}-\frac{\eta c(0)}{a(0)}-\frac{\eta \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\xi \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}\right) b(0)}{2 a(0)}-\frac{c(0) \left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right)}{2 a(0)}-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\eta \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\eta \left(b''(0) a(0)^2-2 a'(0) b'(0) a(0)-b(0) a''(0) a(0)+2 b(0) a'(0)^2\right)}{2 a(0)^3}-\frac{\xi \left(c''(0) a(0)^2-2 a'(0) c'(0) a(0)-c(0) a''(0) a(0)+2 c(0) a'(0)^2\right)}{2 a(0)^3}\right) b(0)}{3 a(0)}-\frac{c(0) \left(-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) b(0)}{a(0)}-\frac{\eta c(0)}{a(0)}-\frac{\eta \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\xi \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}\right)}{6 a(0)}-\frac{\left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right) \left(-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) b(0)}{a(0)}-\frac{\eta c(0)}{a(0)}-\frac{\eta \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\xi \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}\right)}{2 a(0)^2}-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{2 a(0)^2}-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) \left(b''(0) a(0)^2-2 a'(0) b'(0) a(0)-b(0) a''(0) a(0)+2 b(0) a'(0)^2\right)}{2 a(0)^3}-\frac{\eta \left(c''(0) a(0)^2-2 a'(0) c'(0) a(0)-c(0) a''(0) a(0)+2 c(0) a'(0)^2\right)}{2 a(0)^3}-\frac{\eta \left(b^{(3)}(0) a(0)^3-3 b'(0) a''(0) a(0)^2-3 a'(0) b''(0) a(0)^2-b(0) a^{(3)}(0) a(0)^2+6 a'(0)^2 b'(0) a(0)+6 b(0) a'(0) a''(0) a(0)-6 b(0) a'(0)^3\right)}{6 a(0)^4}-\frac{\xi \left(c^{(3)}(0) a(0)^3-3 c'(0) a''(0) a(0)^2-3 a'(0) c''(0) a(0)^2-c(0) a^{(3)}(0) a(0)^2+6 a'(0)^2 c'(0) a(0)+6 c(0) a'(0) a''(0) a(0)-6 c(0) a'(0)^3\right)}{6 a(0)^4}\right)}{20 a(0)}-\frac{\left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right) \left(-\frac{\left(-\frac{\left(-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) b(0)}{a(0)}-\frac{\eta c(0)}{a(0)}-\frac{\eta \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\xi \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}\right) b(0)}{2 a(0)}-\frac{c(0) \left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right)}{2 a(0)}-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\eta \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\eta \left(b''(0) a(0)^2-2 a'(0) b'(0) a(0)-b(0) a''(0) a(0)+2 b(0) a'(0)^2\right)}{2 a(0)^3}-\frac{\xi \left(c''(0) a(0)^2-2 a'(0) c'(0) a(0)-c(0) a''(0) a(0)+2 c(0) a'(0)^2\right)}{2 a(0)^3}\right) b(0)}{3 a(0)}-\frac{c(0) \left(-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) b(0)}{a(0)}-\frac{\eta c(0)}{a(0)}-\frac{\eta \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\xi \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}\right)}{6 a(0)}-\frac{\left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right) \left(-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) b(0)}{a(0)}-\frac{\eta c(0)}{a(0)}-\frac{\eta \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\xi \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}\right)}{2 a(0)^2}-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{2 a(0)^2}-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) \left(b''(0) a(0)^2-2 a'(0) b'(0) a(0)-b(0) a''(0) a(0)+2 b(0) a'(0)^2\right)}{2 a(0)^3}-\frac{\eta \left(c''(0) a(0)^2-2 a'(0) c'(0) a(0)-c(0) a''(0) a(0)+2 c(0) a'(0)^2\right)}{2 a(0)^3}-\frac{\eta \left(b^{(3)}(0) a(0)^3-3 b'(0) a''(0) a(0)^2-3 a'(0) b''(0) a(0)^2-b(0) a^{(3)}(0) a(0)^2+6 a'(0)^2 b'(0) a(0)+6 b(0) a'(0) a''(0) a(0)-6 b(0) a'(0)^3\right)}{6 a(0)^4}-\frac{\xi \left(c^{(3)}(0) a(0)^3-3 c'(0) a''(0) a(0)^2-3 a'(0) c''(0) a(0)^2-c(0) a^{(3)}(0) a(0)^2+6 a'(0)^2 c'(0) a(0)+6 c(0) a'(0) a''(0) a(0)-6 c(0) a'(0)^3\right)}{6 a(0)^4}\right)}{4 a(0)^2}-\frac{b(0) \left(-\eta \left(\frac{\left(2 a'(0)^2-a(0) a''(0)\right) b''(0)}{4 a(0)^3}+\frac{b'(0) \left(-6 a'(0)^3+6 a(0) a''(0) a'(0)-a(0)^2 a^{(3)}(0)\right)}{6 a(0)^4}+\frac{b(0) \left(24 a'(0)^4-36 a(0) a''(0) a'(0)^2+8 a(0)^2 a^{(3)}(0) a'(0)+6 a(0)^2 a''(0)^2-a(0)^3 a^{(4)}(0)\right)}{24 a(0)^5}+\frac{b^{(4)}(0)}{24 a(0)}-\frac{a'(0) b^{(3)}(0)}{6 a(0)^2}\right)-\xi \left(\frac{\left(2 a'(0)^2-a(0) a''(0)\right) c''(0)}{4 a(0)^3}+\frac{c'(0) \left(-6 a'(0)^3+6 a(0) a''(0) a'(0)-a(0)^2 a^{(3)}(0)\right)}{6 a(0)^4}+\frac{c(0) \left(24 a'(0)^4-36 a(0) a''(0) a'(0)^2+8 a(0)^2 a^{(3)}(0) a'(0)+6 a(0)^2 a''(0)^2-a(0)^3 a^{(4)}(0)\right)}{24 a(0)^5}+\frac{c^{(4)}(0)}{24 a(0)}-\frac{a'(0) c^{(3)}(0)}{6 a(0)^2}\right)-\frac{b(0) \left(-\frac{\left(-\frac{\left(-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) b(0)}{a(0)}-\frac{\eta c(0)}{a(0)}-\frac{\eta \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\xi \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}\right) b(0)}{2 a(0)}-\frac{c(0) \left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right)}{2 a(0)}-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\eta \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\eta \left(b''(0) a(0)^2-2 a'(0) b'(0) a(0)-b(0) a''(0) a(0)+2 b(0) a'(0)^2\right)}{2 a(0)^3}-\frac{\xi \left(c''(0) a(0)^2-2 a'(0) c'(0) a(0)-c(0) a''(0) a(0)+2 c(0) a'(0)^2\right)}{2 a(0)^3}\right) b(0)}{3 a(0)}-\frac{c(0) \left(-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) b(0)}{a(0)}-\frac{\eta c(0)}{a(0)}-\frac{\eta \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\xi \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}\right)}{6 a(0)}-\frac{\left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right) \left(-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) b(0)}{a(0)}-\frac{\eta c(0)}{a(0)}-\frac{\eta \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\xi \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}\right)}{2 a(0)^2}-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{2 a(0)^2}-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) \left(b''(0) a(0)^2-2 a'(0) b'(0) a(0)-b(0) a''(0) a(0)+2 b(0) a'(0)^2\right)}{2 a(0)^3}-\frac{\eta \left(c''(0) a(0)^2-2 a'(0) c'(0) a(0)-c(0) a''(0) a(0)+2 c(0) a'(0)^2\right)}{2 a(0)^3}-\frac{\eta \left(b^{(3)}(0) a(0)^3-3 b'(0) a''(0) a(0)^2-3 a'(0) b''(0) a(0)^2-b(0) a^{(3)}(0) a(0)^2+6 a'(0)^2 b'(0) a(0)+6 b(0) a'(0) a''(0) a(0)-6 b(0) a'(0)^3\right)}{6 a(0)^4}-\frac{\xi \left(c^{(3)}(0) a(0)^3-3 c'(0) a''(0) a(0)^2-3 a'(0) c''(0) a(0)^2-c(0) a^{(3)}(0) a(0)^2+6 a'(0)^2 c'(0) a(0)+6 c(0) a'(0) a''(0) a(0)-6 c(0) a'(0)^3\right)}{6 a(0)^4}\right)}{4 a(0)}-\frac{c(0) \left(-\frac{\left(-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) b(0)}{a(0)}-\frac{\eta c(0)}{a(0)}-\frac{\eta \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\xi \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}\right) b(0)}{2 a(0)}-\frac{c(0) \left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right)}{2 a(0)}-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\eta \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\eta \left(b''(0) a(0)^2-2 a'(0) b'(0) a(0)-b(0) a''(0) a(0)+2 b(0) a'(0)^2\right)}{2 a(0)^3}-\frac{\xi \left(c''(0) a(0)^2-2 a'(0) c'(0) a(0)-c(0) a''(0) a(0)+2 c(0) a'(0)^2\right)}{2 a(0)^3}\right)}{12 a(0)}-\frac{\left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right) \left(-\frac{\left(-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) b(0)}{a(0)}-\frac{\eta c(0)}{a(0)}-\frac{\eta \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\xi \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}\right) b(0)}{2 a(0)}-\frac{c(0) \left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right)}{2 a(0)}-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\eta \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\eta \left(b''(0) a(0)^2-2 a'(0) b'(0) a(0)-b(0) a''(0) a(0)+2 b(0) a'(0)^2\right)}{2 a(0)^3}-\frac{\xi \left(c''(0) a(0)^2-2 a'(0) c'(0) a(0)-c(0) a''(0) a(0)+2 c(0) a'(0)^2\right)}{2 a(0)^3}\right)}{3 a(0)^2}-\frac{\left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right) \left(-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) b(0)}{a(0)}-\frac{\eta c(0)}{a(0)}-\frac{\eta \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\xi \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}\right)}{6 a(0)^2}-\frac{\left(-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) b(0)}{a(0)}-\frac{\eta c(0)}{a(0)}-\frac{\eta \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\xi \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}\right) \left(b''(0) a(0)^2-2 a'(0) b'(0) a(0)-b(0) a''(0) a(0)+2 b(0) a'(0)^2\right)}{4 a(0)^3}-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) \left(c''(0) a(0)^2-2 a'(0) c'(0) a(0)-c(0) a''(0) a(0)+2 c(0) a'(0)^2\right)}{4 a(0)^3}-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) \left(b^{(3)}(0) a(0)^3-3 b'(0) a''(0) a(0)^2-3 a'(0) b''(0) a(0)^2-b(0) a^{(3)}(0) a(0)^2+6 a'(0)^2 b'(0) a(0)+6 b(0) a'(0) a''(0) a(0)-6 b(0) a'(0)^3\right)}{6 a(0)^4}-\frac{\eta \left(c^{(3)}(0) a(0)^3-3 c'(0) a''(0) a(0)^2-3 a'(0) c''(0) a(0)^2-c(0) a^{(3)}(0) a(0)^2+6 a'(0)^2 c'(0) a(0)+6 c(0) a'(0) a''(0) a(0)-6 c(0) a'(0)^3\right)}{6 a(0)^4}\right)}{5 a(0)}-\frac{\left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right) \left(-\frac{\left(-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) b(0)}{a(0)}-\frac{\eta c(0)}{a(0)}-\frac{\eta \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\xi \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}\right) b(0)}{2 a(0)}-\frac{c(0) \left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right)}{2 a(0)}-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\eta \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\eta \left(b''(0) a(0)^2-2 a'(0) b'(0) a(0)-b(0) a''(0) a(0)+2 b(0) a'(0)^2\right)}{2 a(0)^3}-\frac{\xi \left(c''(0) a(0)^2-2 a'(0) c'(0) a(0)-c(0) a''(0) a(0)+2 c(0) a'(0)^2\right)}{2 a(0)^3}\right)}{12 a(0)^2}-\frac{\left(b''(0) a(0)^2-2 a'(0) b'(0) a(0)-b(0) a''(0) a(0)+2 b(0) a'(0)^2\right) \left(-\frac{\left(-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) b(0)}{a(0)}-\frac{\eta c(0)}{a(0)}-\frac{\eta \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\xi \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}\right) b(0)}{2 a(0)}-\frac{c(0) \left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right)}{2 a(0)}-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\eta \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\eta \left(b''(0) a(0)^2-2 a'(0) b'(0) a(0)-b(0) a''(0) a(0)+2 b(0) a'(0)^2\right)}{2 a(0)^3}-\frac{\xi \left(c''(0) a(0)^2-2 a'(0) c'(0) a(0)-c(0) a''(0) a(0)+2 c(0) a'(0)^2\right)}{2 a(0)^3}\right)}{6 a(0)^3}-\frac{\left(-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) b(0)}{a(0)}-\frac{\eta c(0)}{a(0)}-\frac{\eta \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\xi \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}\right) \left(c''(0) a(0)^2-2 a'(0) c'(0) a(0)-c(0) a''(0) a(0)+2 c(0) a'(0)^2\right)}{12 a(0)^3}-\frac{\left(-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) b(0)}{a(0)}-\frac{\eta c(0)}{a(0)}-\frac{\eta \left(a(0) b'(0)-b(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}-\frac{\xi \left(a(0) c'(0)-c(0) a'(0)\right)}{a(0)^2}\right) \left(b^{(3)}(0) a(0)^3-3 b'(0) a''(0) a(0)^2-3 a'(0) b''(0) a(0)^2-b(0) a^{(3)}(0) a(0)^2+6 a'(0)^2 b'(0) a(0)+6 b(0) a'(0) a''(0) a(0)-6 b(0) a'(0)^3\right)}{12 a(0)^4}-\frac{\left(-\frac{\eta b(0)}{a(0)}-\frac{\xi c(0)}{a(0)}\right) \left(c^{(3)}(0) a(0)^3-3 c'(0) a''(0) a(0)^2-3 a'(0) c''(0) a(0)^2-c(0) a^{(3)}(0) a(0)^2+6 a'(0)^2 c'(0) a(0)+6 c(0) a'(0) a''(0) a(0)-6 c(0) a'(0)^3\right)}{12 a(0)^4}\right)}\)