Istnienie i jednoznaczność rozwiązania

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
pasjonat_matematyki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 76
Rejestracja: 3 wrz 2019, o 12:30
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy

Istnienie i jednoznaczność rozwiązania

Post autor: pasjonat_matematyki »

Dzień dobry

Niech będzie dany układ równań:
\(\displaystyle{ \frac{dV}{dt}=r_{1}V-r_{2}VE}\)
\(\displaystyle{ \frac{dE}{dt}=r_{3}V-r_{4}VE}\), gdzie \(\displaystyle{ r_{1}}\),\(\displaystyle{ r_{2}}\), \(\displaystyle{ r_{3}}\). \(\displaystyle{ r_{4}}\) są stałymi dodatnimi. \(\displaystyle{ V_{0}}\) i \(\displaystyle{ E_{0}}\) są nieujemne, bo to są odpowiednio stężenia antygenu i efektorów w organizmie. W podręczniku jest napisane, że istnienie i jednoznaczność wynika z gładkości prawej strony układu. Jeśli chodzi o samo istnienie, to tą część rozumiem, bo istnienie wynika z ciągłości prawej strony, a funkcje gładkie są ciągłe. Z kolei jednoznaczności dowodziło się szukając stałej Lipschitza. Jednak w takim ogólnym przypadku byłoby to chyba dość skomplikowane. Jak dowieść, że owa gładkość prawej strony gwarantuje nam od razu jednoznaczność?

Dodano po 50 minutach 10 sekundach:
Chyba już wiem. Chodzi o supremum z modułu pochodnych cząstkowych, które chyba utożsamiało się ze stałą Lipschitza. Skoro prawa strona jest klasy \(\displaystyle{ C^{1}}\), to są ciągłe, czyli na dowolnym domkniętym zbiorze zawierającym punkt \(\displaystyle{ E_{0}}\) i \(\displaystyle{ V_{0}}\) będą ograniczone. Czy dobrze myślę? A jeśli chodzi o przedłużalność rozwiązań, to książka podaje, że nieujemność rozwiązania ją implikuje. W jakim sensie?
Bo ja bym po prostu powiedział, że można dowolnie przedłużać to jednoznaczne rozwiązanie (wychodząc z punktu początkowego) do granicy tego domkniętego zbioru.
ODPOWIEDZ