Równanie różniczkowe

[math196]

Potrzebuje pomocy jak rozwiązać następujące równanie różniczkowe:
$$ xy' - (2x+1)y +y^2= -x^2 $$
Co to jest za równanie i jak je rozwiązać ?

[kerajs]

Może tak:
\(\displaystyle{ xy' - (2x+1)y +y^2= -x^2 \\
xy'+(x-y)^2-y=0\\
xy'+(x-y)^2+(x-y)-x=0\\
t=x-y \ \ \Leftarrow \ \ y'=1-t' \\
x(1-t')+t^2+t-x=0 \\
xt'=t^2+t\\
\frac{ \dd t }{t^2+t}= \frac{ \dd x }{x} }\)

[Mariusz M]

Gdyby chciał to równanie rozwiązywać schematycznie to jest to równanie Riccatiego
w którym dość łatwo zgadnąć całkę szczególną

\(\displaystyle{ xy' - (2x+1)y +y^2= -x^2\\
}\)

Sprawdźmy czy \(\displaystyle{ y_{1}=x}\) jest całką szczególną tego równania

\(\displaystyle{ x \cdot 1 - \left( 2x+1\right)x+x^2=-x^2\\
x-2x^2-x+x^2=-x^2\\
-x^2=-x^2\\
}\)

Teraz mamy dwie możliwości - albo sprowadzamy do równania Bernoulliego
albo do liniowego

\(\displaystyle{ y=x+\frac{1}{u}\\
y'=1-\frac{u'}{u^2}\\
x\left(1-\frac{u'}{u^2} \right)-\left( 2x+1\right)\left(x+\frac{1}{u} \right)+\left( x+\frac{1}{u}\right)^2=-x^2\\
x-\frac{xu'}{u^2} - \left( 2x+1\right)x-\left( 2x+1\right)\frac{1}{u} +x^2+2x\frac{1}{u}+\frac{1}{u^2} =-x^2\\
-\frac{xu'}{u^2}-\left( 2x+1\right)\frac{1}{u}+2x\frac{1}{u}+\frac{1}{u^2}=0\\
xu'+u-1=0\\
(xu)'=1\\
xu=x+C\\
u=1+\frac{C}{x}\\
u=\frac{x+C}{x}\\
y = x+\frac{x}{x+C}\\
}\)