Proszę o pomoc w rozwiązaniu takiego zadania.
Sformułuj równanie różniczkowe opisujące ruch samochodu podczas hamowania ze stałym opóźnieniem. Rozwiąż to równanie i znajdź zależność między prędkością z jaką samochód zaczyna hamować a drogą hamowania. Następnie odpowiedz na pytanie: jeśli prędkość początkowa hamowania wzrośnie dwa razy to ile razy wzrośnie droga hamowania?
Zadanie - sformułować równanie różniczkowe
-
Terminator7
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 4 gru 2019, o 18:36
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 7 razy
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7916
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Zadanie - sformułować równanie różniczkowe
Dla ruchu prostoliniowego - jednostajnie opóźnionego samochodu bez uwzględnienia tarcia kinematycznego i siły oporu powietrza
\(\displaystyle{ \begin {cases} v (t) = v_{0} - a\cdot t \\ x(t) = v_{0} - \frac{1}{2}a\cdot t^2 \end{cases} }\)
Wyznaczając z pierwszego równania \(\displaystyle{ t }\) i podstawiając do równania drugiego, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ v^2 = v^2_{0} - 2a\cdot x, }\)
\(\displaystyle{ v(x = 0) = v_{0}. }\)
\(\displaystyle{ x_{h} }\) - długość drogi hamowania
\(\displaystyle{ v(x = x_{h}) = 0 \rightarrow a = \frac{v^2_{0}}{2x_{h}}. }\)
\(\displaystyle{ v = v(x) = v_{0} \cdot \sqrt{1 - \frac{x}{x_{h}}}. }\)
\(\displaystyle{ t = \int \frac{dx}{v_{0}\cdot \sqrt{1 - \frac{x}{x_{h}}}} = \ \ ...+ \ \ C }\) (całkowanie przez podstawienie)
Stałą \(\displaystyle{ C }\) wyznaczamy z warunku początkowego x(0) = 0: [/latex]
\(\displaystyle{ 0 = -\frac{2x_{h}}{v_{0}}\cdot \sqrt{1} + C }\)
\(\displaystyle{ C = \ \ ...}\)
Czas hamowania
\(\displaystyle{ t_{h} = t(x_{h}) = C = \frac{2x_{h}}{v_{0}}. }\)
\(\displaystyle{ a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = ... = -\frac{v^2_{0}}{2x_{h}} }\)
\(\displaystyle{ a = const. }\)
\(\displaystyle{ v = v(t) = -\frac{v^2_{0}}{2x_{h}}\cdot t + v_{0}, }\)
\(\displaystyle{ x = x(t) = -\frac{v^2_{0}}{4x_{h}}\cdot t^2 + v_{0}\cdot t.}\)
Jeśli prędkość początkowa wzrośnie do \(\displaystyle{ 2\cdot v_{0} }\) to czas hamowania \(\displaystyle{ t_{h} = ... }\) zmaleje ... razy,
Droga hamowania \(\displaystyle{ x_{h} }\) wzrośnie ... razy.
\(\displaystyle{ \begin {cases} v (t) = v_{0} - a\cdot t \\ x(t) = v_{0} - \frac{1}{2}a\cdot t^2 \end{cases} }\)
Wyznaczając z pierwszego równania \(\displaystyle{ t }\) i podstawiając do równania drugiego, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ v^2 = v^2_{0} - 2a\cdot x, }\)
\(\displaystyle{ v(x = 0) = v_{0}. }\)
\(\displaystyle{ x_{h} }\) - długość drogi hamowania
\(\displaystyle{ v(x = x_{h}) = 0 \rightarrow a = \frac{v^2_{0}}{2x_{h}}. }\)
\(\displaystyle{ v = v(x) = v_{0} \cdot \sqrt{1 - \frac{x}{x_{h}}}. }\)
\(\displaystyle{ t = \int \frac{dx}{v_{0}\cdot \sqrt{1 - \frac{x}{x_{h}}}} = \ \ ...+ \ \ C }\) (całkowanie przez podstawienie)
Stałą \(\displaystyle{ C }\) wyznaczamy z warunku początkowego x(0) = 0: [/latex]
\(\displaystyle{ 0 = -\frac{2x_{h}}{v_{0}}\cdot \sqrt{1} + C }\)
\(\displaystyle{ C = \ \ ...}\)
Czas hamowania
\(\displaystyle{ t_{h} = t(x_{h}) = C = \frac{2x_{h}}{v_{0}}. }\)
\(\displaystyle{ a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = ... = -\frac{v^2_{0}}{2x_{h}} }\)
\(\displaystyle{ a = const. }\)
\(\displaystyle{ v = v(t) = -\frac{v^2_{0}}{2x_{h}}\cdot t + v_{0}, }\)
\(\displaystyle{ x = x(t) = -\frac{v^2_{0}}{4x_{h}}\cdot t^2 + v_{0}\cdot t.}\)
Jeśli prędkość początkowa wzrośnie do \(\displaystyle{ 2\cdot v_{0} }\) to czas hamowania \(\displaystyle{ t_{h} = ... }\) zmaleje ... razy,
Droga hamowania \(\displaystyle{ x_{h} }\) wzrośnie ... razy.