Operator różniczkowy - ogólna definicja

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Milczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 821
Rejestracja: 22 lut 2013, o 19:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 84 razy
Pomógł: 45 razy

Operator różniczkowy - ogólna definicja

Post autor: Milczek »

Weźmy \(\displaystyle{ \alpha = (\alpha_{1},...,\alpha_{d}) \in \ZZ_{+}^d}\). Wtedy dla \(\displaystyle{ a_\alpha \in \CC^{\infty}(\RR^{d})}\) definiujemy liniowy operator różniczkowy :
\(\displaystyle{ P(x,D) = \sum_{|\alpha| \le m} a_{\alpha}D^{\alpha}}\) gdzie \(\displaystyle{ D = \partial_{1}^{\alpha_{1}} \cdot ... \cdot \partial_{d}^{\alpha_{d}}}\) i \(\displaystyle{ |\alpha| = \sum_{i=1}^{d}\alpha_{i}}\) (notacja wielowskaznikowa).

Czym w tym wszystkim jest \(\displaystyle{ m}\) i jak wygląda rozpisanie takiej sumy np. dla \(\displaystyle{ \alpha = (2,2,1) \in \ZZ_{+}^3}\)?
Wtedy mamy, \(\displaystyle{ P(x,D) = \sum_{5 \le m} a_{\alpha}D^{\alpha}}\). Zostaje tylko ograniczenie że \(\displaystyle{ m}\) jest większe lub równe \(\displaystyle{ 5}\) - tutaj kompletnie się gubię w sensowności tego napisu. Czy ktoś mógłby pokazać jak rozpisać tą sumę? Kompletnie nie widzę jak teraz ta suma powinna być rozpisana.
krl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 609
Rejestracja: 10 lis 2009, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 135 razy

Re: Operator różniczkowy - ogólna definicja

Post autor: krl »

Dla \(\displaystyle{ m=5}\) suma w \(\displaystyle{ P(x,D)=\sum_{|\alpha|\leq 5}a_{\alpha}D^{\alpha}}\) przebiega po wszystkich wieloindeksach \(\displaystyle{ \alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\in\mathbb{Z}^3_+}\) takich, że \(\displaystyle{ \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\leq 5}\).
Wszystkie takie \(\displaystyle{ \alpha}\) to \(\displaystyle{ (1,1,1),(2,1,1),(1,2,1),(1,1,2),(2,2,1),(2,1,2),(1,2,2)}\).

Więc dla \(\displaystyle{ f\in C^{\infty}(\mathbb{R}^3)}\),
\(\displaystyle{ P(f,D)(x) = a_{(1,1,1)}(x)\partial^1_1\partial^1_2\partial^1_3 f(x)+a_{(2,1,1)}\partial^2_1\partial^1_2\partial^1_3 f(x)+\dots}\), gdzie \(\displaystyle{ a_{\alpha}\in C^{\infty}(\mathbb{R}^3)}\). Czyli \(\displaystyle{ P(f,D)\in C^{\infty}(\mathbb{R}^3)}\)
Będzie siedem składników w tej sumie. \(\displaystyle{ x}\) oznacza tu trójkę zmiennych przebiegających łącznie \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\).
Milczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 821
Rejestracja: 22 lut 2013, o 19:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 84 razy
Pomógł: 45 razy

Re: Operator różniczkowy - ogólna definicja

Post autor: Milczek »

Wielkie dziękuję! Wszystko jasne - trochę się uczę o operatorach pseudoróżniczkowych i takie napisy których jest dużo w książce, teraz stają się bardziej przejrzyste :)
ODPOWIEDZ