Równanie liniowe, dowód na postać rozwiązania

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Kraner
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 28 cze 2021, o 00:45
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21

Równanie liniowe, dowód na postać rozwiązania

Post autor: Kraner »

Szukam dowodu na równość:
\(\displaystyle{ \mbox{CORN}=\mbox{CORJ}+\mbox{CSRN}}\), gdzie symbole oznaczają kolejno: całka ogólna równania niejednorodnego, całka ogólna równania jednorodnego, całka szczególna równania niejednorodnego.
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Re: Równanie liniowe, dowód na postać rozwiązania

Post autor: bartek118 »

Dowód jest bardzo prosty. Rozpatrujemy równanie liniowe niejednorodne. Przypuśćmy, że ma ono dwa rozwiązania \(\displaystyle{ u_1}\) i \(\displaystyle{ u_2}\). Wówczas łatwo sprawdzić, że różnica \(\displaystyle{ v = u_1 - u_2}\) spełnia równanie liniowe jednorodne. Nietrudno sprawdzić teraz, że jeśli mam jakieś rozwiązania takiego równania, to ich kombinacja liniowa także jest rozwiązaniem. W konsekwencji, rozwiązania równania jednorodnego tworzą przestrzeń liniową. Ze wspomnianej równości powyżej mamy, że \(\displaystyle{ u_1 = v + u_2}\). \(\displaystyle{ u_1, u_2}\) to dowolne rozwiązania równania niejednorodnego. Wystarczy zatem ustalić \(\displaystyle{ u_2}\) jako jakieś rozwiązanie (dowolnie wybrane), i pozostałe dostajemy z powyższego wzoru, gdzie \(\displaystyle{ v}\) przebiega przestrzeń liniową rozwiązań równania jednorodnego.
ODPOWIEDZ