Równanie różniczkowe z problemem początkowym

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Iza8723
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 9 razy

Równanie różniczkowe z problemem początkowym

Post autor: Iza8723 »

Równanie różniczkowe \(\displaystyle{ y'=y ^{ \frac{2}{3} } }\) z warunkiem początkowym \(\displaystyle{ y(0)=0}\):
a) ma dokładnie jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ y= \frac{x^{2}}{9} }\)
b) ma dokładnie jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ y= \frac{x^{3}}{27} }\)
c) nie ma rozwiązań
d) ma nieskończenie wiele rozwiązań
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Równanie różniczkowe z problemem początkowym

Post autor: Jan Kraszewski »

To jest równanie o zmiennych rozdzielonych. Rozwiąż je i sprawdź odpowiedź.

JK
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Równanie różniczkowe z problemem początkowym

Post autor: Dasio11 »

Jednak radziłbym zachować ostrożność przy rozwiązywaniu, bo zadanie jest dość nieschematyczne.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Równanie różniczkowe z problemem początkowym

Post autor: Jan Kraszewski »

Dasio11 pisze: 3 cze 2021, o 20:50 Jednak radziłbym zachować ostrożność przy rozwiązywaniu,
I uważać na zero...

JK
Iza8723
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 9 razy

Re: Równanie różniczkowe z problemem początkowym

Post autor: Iza8723 »

Wyszło mi rozwiązanie \(\displaystyle{ y= \frac{1}{27}x^{3} }\), ale czy przez ten warunek początkowy prawidłową odpowiedzią będzie: nieskończenie wiele rozwiązań? Tylko za bardzo nie wiem jak to uzasadnić
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Równanie różniczkowe z problemem początkowym

Post autor: Janusz Tracz »

Funkcja \(\displaystyle{ y\equiv 0}\) też jest dobrym rozwiązaniem. Więc pojawi się naturalny pomysł aby gładko skleić kawałek funkcji stale równej zero, a potem przesuniętej \(\displaystyle{ x^3/27}\). Zobacz, czy funkcje \(\displaystyle{ y_{\tau}:\RR\to\RR}\) dane wzorem
\(\displaystyle{ y_{\tau}(x)= \begin{cases} 0\quad \quad \quad x \le \tau, \\ \frac{(x-\tau)^3}{27} \quad x> \tau \end{cases} }\)
dla \(\displaystyle{ \tau \ge 0}\) też nie są rozwiązaniami.
ODPOWIEDZ