Justia13 pisze: ↑27 maja 2021, o 21:49
Z drugą mam problem bo przy
\(\displaystyle{ \dd x - \dd z}\) dostaję w mianowniku 0.
Wtedy zwykle można wnioskować, że
\(\displaystyle{ \dd x - \dd z=0}\) bo jeśli masz równanie
\(\displaystyle{ \text{coś}/0=\text{liczba}}\) to to coś raczej jest zerem. Tylko wtedy, gdy mamy
\(\displaystyle{ 0/0}\) to ma szanse być skończone. To co teraz powiedziałem jest ultra nieformalne i na pewno nie może służyć jako naukowy argument ale oddaje to intuicję. Tak czy inaczej całka pierwsza pochodząca od równania
\(\displaystyle{ \dd x - \dd z=0}\) jest funkcyjnie zależna z tą którą już wyznaczyłeś więc musisz napisać istotnie inne równanie na całkę pierwszą.
Powiedzmy, że poszukamy rozwiązania w postaci uwikłanej
\(\displaystyle{ z=z(x,y)}\) dana będzie warunkiem
\(\displaystyle{ \omega(x,y,z)=0}\). Wtedy dokonując zamiany zmiennych dostaniemy do rozwiązania
\(\displaystyle{ 3y^2\omega_x-(z-x)\omega_y+3y^2\omega_z=0}\)
gdzie
\(\displaystyle{ \omega:D \subset \RR^3 \rightarrow \RR}\). Zatem równania na całki pierwsze to
\(\displaystyle{ \frac{ \dd x }{3y^2} =\frac{ \dd y }{x-z}=\frac{ \dd z }{3y^2} }\)
zatem faktycznie
\(\displaystyle{ \dd x - \dd z=0}\) co daje całkę pierwszą
\(\displaystyle{ \phi=x-z}\). Ale skoro
\(\displaystyle{ x-z}\) jest stałe to całkując
\(\displaystyle{ (x-z) \dd x =3y^2 \dd y}\) możemy zapisać
\(\displaystyle{ (x-z) \int_{}^{} \dd x =3 \int_{}^{} y^2 \dd y}\)
zatem
\(\displaystyle{ y^3-(x-z)x}\) jest stałe więc przyjmujemy
\(\displaystyle{ \psi=y^3-(x-z)x}\). Sprawdź czy faktycznie funkcje
\(\displaystyle{ \phi,\psi:\RR^3 \rightarrow \RR}\) są całkami pierwszymi
\(\displaystyle{ 3y^2\omega_x-(z-x)\omega_y+3y^2\omega_z=0}\) czyli czy spełniają to równanie. Teraz jeśli są to funkcyjnie niezależne całki pierwsze (tu wystarczy pokazać, że
\(\displaystyle{ \nabla \phi \times \nabla \psi \neq \vec{0} }\)) to rozwiązaniem jest
\(\displaystyle{ \omega(x,y,z)=F(x-z,y^3-(x-z)x)}\)
gdzie
\(\displaystyle{ F\in\mathcal{C}^1}\). Teraz przypominamy sobie, że
\(\displaystyle{ \omega(x,y,z)=0}\) i zadawało to warunek na
\(\displaystyle{ z(x,y)}\). Mamy więc rozwiązanie (niestety w postaci uwikłanej)
\(\displaystyle{ F(x-z,y^3-(x-z)x)=0}\)
i nie widzę sposobu aby to rozwikłać i wycisnąć z tego coś więcej.
