Metoda charakterystyk - zagadnienie Cauchy'ego

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Justia13
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 26 maja 2021, o 16:49
Płeć: Kobieta
wiek: 26
Podziękował: 2 razy

Metoda charakterystyk - zagadnienie Cauchy'ego

Post autor: Justia13 »

Cześć, mam takie zadanie:
Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego:
\(\displaystyle{ \begin{cases} yu_x+zu_z=0 \\ u(1,y,z)=\ln z - \frac{1}{y} \end{cases} }\)
Mniej więcej wiem jaki jest schemat rozwiązywania, ale mam problem gdy rozpiszę równania charakterystyk
\(\displaystyle{ \frac{dx}{y} = \frac{dz}{z} }\)
przy \(\displaystyle{ dx}\) pojawia mi się \(\displaystyle{ y}\) i nie wiem co z nim zrobić. Jedynym pomysłem było traktowanie \(\displaystyle{ y}\) jako stałej, ale co później? Czy można jakoś wykorzystać zero po prawej stronie równania?
Ostatnio zmieniony 26 maja 2021, o 18:03 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Metoda charakterystyk - zagadnienie Cauchy'ego

Post autor: Janusz Tracz »

Obserwacja, że \(\displaystyle{ y\equiv \text{const}.}\) jest rozwiązaniem jest słuszna. Wynika z niej, że całką pierwszą tego równania jest \(\displaystyle{ \phi(x,y,z)=y}\). Teraz jeszcze trzeba wyznaczyć jeszcze jedną całkę pierwszą i można to zrobić całkując \(\displaystyle{ \dd x /y= \dd z/z}\) zakładając, że \(\displaystyle{ y\equiv \text{const}.}\) dostaniemy po kilku przekształceniach, że \(\displaystyle{ z \cdot e^{-x/y}=\text{const}.}\) i to jest kolejna całka pierwsza \(\displaystyle{ \psi(x,y,z)=z \cdot e^{-x/y}}\). Można teraz zapisać rozwiązanie \(\displaystyle{ u(x,y,z)=F(\phi,\psi)}\), gdzie \(\displaystyle{ F}\) jest klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^1}\). Czyli ogólnie

\(\displaystyle{ u(x,y,z)=F\left( y,ze^{- \frac{x}{y} }\right) }\)

jest rozwiązaniem. Kładąc \(\displaystyle{ x=1}\) dostajemy \(\displaystyle{ F\left( y,ze^{- \frac{1}{y} }\right)=\ln z- \frac{1}{y} }\) i łatwo zgadnąć, że \(\displaystyle{ F}\) to funkcja postaci \(\displaystyle{ F\left( \xi,\eta\right)=\ln \eta }\). Zatem

\(\displaystyle{ u(x,y,z)=\ln z- \frac{x}{y} }\)

jest rozwiązaniem spełniającym warunek początkowy.
ODPOWIEDZ