Transformata/Metoda Fouriera a równanie podobne ale jednak zupełne inne do równania przewodnictwa cieplnego

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
student_matematyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 45
Rejestracja: 15 maja 2020, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22
Podziękował: 3 razy

Transformata/Metoda Fouriera a równanie podobne ale jednak zupełne inne do równania przewodnictwa cieplnego

Post autor: student_matematyk » 29 kwie 2021, o 17:19

Witam!

Mam z bardzo dziwnym przypadkiem do czynienia

Mianowicie chodzi o równanie

\(\displaystyle{ \begin{equation}
\begin{cases}
u_t=u_{xx}+4u+x^2-2t-4x^2t+2\cdot \cos ^2\left(x\right), x\in \left(0,\pi \right) \\
u\left(x,0\right)=0 \\
u_x\left(0,t\right)=0 \\
u_x\left(\pi ,t\right)=2\pi t
\end{cases}
\end{equation}}\)


Na razie mogłem je tylko częściowo rozwiązać, używając \(\displaystyle{ u\left(x,t\right)=v\left(x,t\right)+w\left(x,t\right)}\) gdzie \(\displaystyle{ v\left(x,t\right)=a\left(t\right)x^2+b\left(t\right)+c\left(t\right)\cos \left(2x\right)}\) oraz zastępując w oryginalnym równaniu \(\displaystyle{ \cdot \cos ^2\left(x\right)}\) z \(\displaystyle{ \cos \left(2x\right)+1}\) dostaniemy że \(\displaystyle{ a\left(t\right)=t,\:b\left(t\right)=-\frac{1}{4},\:c\left(t\right)=t}\)

W dodatku ponieważ nam wyjdzie że \(\displaystyle{ w_t-w_{xx}-4w=0}\) dostaniemy układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{equation}
\begin{cases}
w_t=w_{xx}+4w \\
w\left(x,0\right)=u\left(x,0\right)-v\left(x,0\right) = \frac{1}{4}\\
w_x\left(0,t\right)=u_t\left(0,t\right)-v_t\left(0,t\right) = 0\\
w_x\left(\pi ,t\right)=u_t\left(\pi ,t\right)-v_t\left(\pi ,t\right) = 0
\end{cases}
\end{equation} }\)


Wszystko byłoby fajnie gdyby nie to \(\displaystyle{ 4w}\).

Więc moje pytanie brzmi: Co musiałbym zrobić, gdybym chciał zastosować Transformatę/Metodę Fouriera dla takiego układu równań? Równanie wygląda podobnie do równania przewodnictwa cieplnego, jednak przez to \(\displaystyle{ 4w}\) nim nie jest, i nie wiem co mam teraz zrobić

Czy można Transformatę/Metodę Fouriera użyć od razu w naszym oryginalnym równaniu (gdzie u jest szukane)?

Prosiłbym tylko żeby nie zostały proponowane inne ścieżki rozwiązania, wiem że można to inaczej bez Fouriera rozwiązać, jednak jest to z góry u nas wymagane by to zadanie za pomocą Tranformatą/Metody Fouriera rozwiązać

Dziękuję!
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Elvis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 759
Rejestracja: 17 paź 2004, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 85 razy

Re: Transformata/Metoda Fouriera a równanie podobne ale jednak zupełne inne do równania przewodnictwa cieplnego

Post autor: Elvis » 24 maja 2021, o 16:49

Owego \(\displaystyle{ 4w}\) łatwo się pozbyć, rozważając pomocniczo funkcję \(\displaystyle{ h(t,x) = e^{-4t} w(t,x)}\). Wtedy \(\displaystyle{ h_t = e^{-4t} w_t - 4 e^{4t} w}\) oraz \(\displaystyle{ h_{xx} = e^{-4t} w}\), więc równanie \(\displaystyle{ w_t-w_{xx}=4w}\) jest równoważne \(\displaystyle{ h_t-h_{xx}=0}\).

ODPOWIEDZ