Witam
Zadanie brzmi:
\(\displaystyle{ xyz_x - y^2 z_y = x}\) dla warunków \(\displaystyle{ x=2}\), \(\displaystyle{ 2yz - 3 = 0}\)
Liczę sobie najpierw:
\(\displaystyle{ \frac{dx}{xy} = \frac{dy}{-y^2} }\)
Dostanę:
\(\displaystyle{ C_1 = xy}\)
Podobnie liczę:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{-y^2} = \frac{dz}{x} }\)
I dostanę:
\(\displaystyle{ C_2 = \frac{z}{x} + \frac{1}{y} }\)
Podstawiając warunki dostanę iż:
\(\displaystyle{ C_2 = \frac{ \frac{3}{2} + 2}{C_1} }\)
Z czego dostanę
\(\displaystyle{ z = \frac{7 - 2x}{2y} }\)
Jednak to rozwiązanie nie jest poprawne. Gdzie zrobiłem błąd?
Znaleźć równanie powierzchni całkowej danego równania przechodzącą przez daną krzywą
-
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 15 maja 2020, o 20:28
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 22
- Podziękował: 3 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 27 paź 2015, o 23:44
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 30 razy
Re: Znaleźć równanie powierzchni całkowej danego równania przechodzącą przez daną krzywą
\(\displaystyle{ \frac{xy}{x'}=\frac{-y^2}{y'}=\frac{x}{z'}}\)
\(\displaystyle{ \frac{y}{x'}=\frac{-y^2/x}{y'}=\frac{1}{z'}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{y}{x'}=\frac{-y^2/x}{y'} \\ \frac{y}{x'}=\frac{1}{z'} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} xy=C_1\\ C_1 z=\frac{1}{2}x^2+C_2 \end{cases} }\)
I ogólnym rozwiązaniem jest dowolna funkcja \(\displaystyle{ C_2=\Phi(C_1)}\). Rozwiązując równanie dla \(\displaystyle{ C_1}\) i \(\displaystyle{ C_2}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ \begin{cases} xy=C_1 \\ xyz=\frac{1}{2}x^2+C_2 \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} xy=C_1 \\ xyz-\frac{1}{2}x^2=C_2 \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ xyz-\frac{1}{2}x^2=\Phi(xy)}\)
\(\displaystyle{ z=\frac{\frac{1}{2}x^2+\Phi(xy)}{xy}}\)
Dodano po 1 minucie 47 sekundach:
Po wstawieniu warunku początkowego \(\displaystyle{ \Phi(xy)=1}\) więc \(\displaystyle{ z=\frac{\frac{1}{2}x^2+1}{xy}}\).
\(\displaystyle{ \frac{y}{x'}=\frac{-y^2/x}{y'}=\frac{1}{z'}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{y}{x'}=\frac{-y^2/x}{y'} \\ \frac{y}{x'}=\frac{1}{z'} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} xy=C_1\\ C_1 z=\frac{1}{2}x^2+C_2 \end{cases} }\)
I ogólnym rozwiązaniem jest dowolna funkcja \(\displaystyle{ C_2=\Phi(C_1)}\). Rozwiązując równanie dla \(\displaystyle{ C_1}\) i \(\displaystyle{ C_2}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ \begin{cases} xy=C_1 \\ xyz=\frac{1}{2}x^2+C_2 \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} xy=C_1 \\ xyz-\frac{1}{2}x^2=C_2 \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ xyz-\frac{1}{2}x^2=\Phi(xy)}\)
\(\displaystyle{ z=\frac{\frac{1}{2}x^2+\Phi(xy)}{xy}}\)
Dodano po 1 minucie 47 sekundach:
Po wstawieniu warunku początkowego \(\displaystyle{ \Phi(xy)=1}\) więc \(\displaystyle{ z=\frac{\frac{1}{2}x^2+1}{xy}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 15 maja 2020, o 20:28
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 22
- Podziękował: 3 razy
Re: Znaleźć równanie powierzchni całkowej danego równania przechodzącą przez daną krzywą
Nigdzie nie jest napisane że to jest warunek początkowy? Jedynie jest napisane że
student_matematyk pisze: ↑12 mar 2021, o 01:07
...dla warunków \(\displaystyle{ x=2}\), \(\displaystyle{ 2yz - 3 = 0}\)