Witam od pewnego czasu mam problem z tym równaniem
\(\displaystyle{ y'+\frac{y}{x}= \frac{\sin x}{x}}\)
\(\displaystyle{ y(1)= -1}\)
Nie wiem za bardzo jak do niego podejść. Czy mógłbym prosić o pomoc?
Problem z wyznaczeniem zagadnienia początkowego
-
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 17 lis 2018, o 12:51
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 8 razy
Problem z wyznaczeniem zagadnienia początkowego
Ostatnio zmieniony 10 lut 2021, o 10:12 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Problem z wyznaczeniem zagadnienia początkowego
To jest równanie liniowe pierwszego rzędu. Istnieje deterministyczna metoda ich rozwiązywania. Tu można zauważyć, że można zapisać:
\(\displaystyle{ xy'+y=\sin x}\)
czyli pomnożyłem równanie przez \(\displaystyle{ x}\)
a to jest:
\(\displaystyle{ xy'+x'y=\sin x}\)
a w tym można doszukać się wzory na pochodną iloczynu:
\(\displaystyle{ (xy)'=\sin x}\)
Zatem całkując stronami mamy:
\(\displaystyle{ y= \frac{1}{x} \int_{}^{} \sin x \dd x }\)
dokończenie liczenia pozostawiam jako ćwiczenie.
\(\displaystyle{ xy'+y=\sin x}\)
czyli pomnożyłem równanie przez \(\displaystyle{ x}\)
a to jest:
\(\displaystyle{ xy'+x'y=\sin x}\)
a w tym można doszukać się wzory na pochodną iloczynu:
\(\displaystyle{ (xy)'=\sin x}\)
Zatem całkując stronami mamy:
\(\displaystyle{ y= \frac{1}{x} \int_{}^{} \sin x \dd x }\)
dokończenie liczenia pozostawiam jako ćwiczenie.
-
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 17 lis 2018, o 12:51
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 8 razy
Re: Problem z wyznaczeniem zagadnienia początkowego
W dalszej części wyszło mi tak:
Po całkowaniu
\(\displaystyle{ \frac{-\cos(x)}{x} + \frac{C}{x} }\)
I po wyliczeniu stałej \(\displaystyle{ C}\) (wynosi \(\displaystyle{ \cos(1)+1}\)) z równania różniczkowego niejednokrotnego rzędu 1 wyszła taka funkcja
\(\displaystyle{ y(x)=- \frac{\cos x}{x}+ \frac{\cos(1)+1}{x} }\)
Dobrze myślę?
Po całkowaniu
\(\displaystyle{ \frac{-\cos(x)}{x} + \frac{C}{x} }\)
I po wyliczeniu stałej \(\displaystyle{ C}\) (wynosi \(\displaystyle{ \cos(1)+1}\)) z równania różniczkowego niejednokrotnego rzędu 1 wyszła taka funkcja
\(\displaystyle{ y(x)=- \frac{\cos x}{x}+ \frac{\cos(1)+1}{x} }\)
Dobrze myślę?
Ostatnio zmieniony 10 lut 2021, o 12:22 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Problem z wyznaczeniem zagadnienia początkowego
Raczej: \(\displaystyle{ y(x)=- \frac{\cos x}{x}+ \frac{\cos(1)-1}{x} }\)