Rozwiązałem jako równanie różniczkowe niejednorodne - przerzuciłem to na prawo - i się zgodziło z wynikiem.
Dodano po 1 godzinie 20 minutach 50 sekundach:
Rozwiązałem w takim przypadku jako równanie różniczkowe niejednorodne - ten element zrzuciłem na prawą stronę równania i wyszło tak jak miało wyjść. Więc przyjmuję, że jest ok.
Równanie różniczkowe zwyczajne 4 rzędu - niezrozumiałe przejście
-
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 15 sty 2021, o 23:01
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Podziękował: 6 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 15 sty 2021, o 23:01
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Podziękował: 6 razy
Re: Równanie różniczkowe zwyczajne 4 rzędu - niezrozumiałe przejście
Równanie wygląda następująco:
\(\displaystyle{ r^2\frac{d^2f}{dr^2}+r\frac{df}{dr}-F+kr^3=0}\)
Wydaje mi się, że jest to równanie niejednorodne. Mam rację?
\(\displaystyle{ r^2\frac{d^2f}{dr^2}+r\frac{df}{dr}-F+kr^3=0}\)
Wydaje mi się, że jest to równanie niejednorodne. Mam rację?
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6903
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Równanie różniczkowe zwyczajne 4 rzędu - niezrozumiałe przejście
Czy to równanie miało wyglądać tak \(\displaystyle{ r^2 \frac{\mbox{d}^2f}{\mbox{d}r^2}+r\frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}r}-f=-kr^3 }\) ?
Tak to jest równanie niejednorodne
\(\displaystyle{ r^2 \frac{\mbox{d}^2f}{\mbox{d}r^2}+r\frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}r}-f=-kr^3\\
r = e^{t}\\
\frac{\mbox{d}r}{\mbox{d}t}=e^{t} \\
\frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}r}= \frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}t} \cdot \frac{\mbox{d}t}{\mbox{d}r}\\
\frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}r}= \frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}t} \cdot e^{-t}\\
r\frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}r}=e^{t}\left(\frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}t} \cdot e^{-t} \right) \\
r\frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}r}=\frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}t}\\
\frac{\mbox{d}^2f}{\mbox{d}r^2}= \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}r}\left( \frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}r} \right) \\
\frac{\mbox{d}^2f}{\mbox{d}r^2}= \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}\left( \frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}t} \cdot e^{-t} \right) e^{-t} \\
\frac{\mbox{d}^2f}{\mbox{d}r^2}=\left(\frac{\mbox{d}^2f}{\mbox{d}t^2}e^{-t}-e^{-t} \frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}t}\right)e^{-t}\\
\frac{\mbox{d}^2f}{\mbox{d}r^2}=e^{-2t}\left(\frac{\mbox{d}^2f}{\mbox{d}t^2}- \frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}t}\right) \\
r^2\frac{\mbox{d}^2f}{\mbox{d}r^2}=e^{-2t}\left(\frac{\mbox{d}^2f}{\mbox{d}t^2}- \frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}t}\right)e^{2t}\\
r^2\frac{\mbox{d}^2f}{\mbox{d}r^2}=\frac{\mbox{d}^2f}{\mbox{d}t^2}- \frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}t}\\
}\)
\(\displaystyle{
\frac{\mbox{d}^2f}{\mbox{d}t^2}- \frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}t}+\frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}t}-f=-ke^{3t}\\
\frac{\mbox{d}^2f}{\mbox{d}t^2}-f = -ke^{3t}\\
}\)
Tak to jest równanie niejednorodne
\(\displaystyle{ r^2 \frac{\mbox{d}^2f}{\mbox{d}r^2}+r\frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}r}-f=-kr^3\\
r = e^{t}\\
\frac{\mbox{d}r}{\mbox{d}t}=e^{t} \\
\frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}r}= \frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}t} \cdot \frac{\mbox{d}t}{\mbox{d}r}\\
\frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}r}= \frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}t} \cdot e^{-t}\\
r\frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}r}=e^{t}\left(\frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}t} \cdot e^{-t} \right) \\
r\frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}r}=\frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}t}\\
\frac{\mbox{d}^2f}{\mbox{d}r^2}= \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}r}\left( \frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}r} \right) \\
\frac{\mbox{d}^2f}{\mbox{d}r^2}= \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}\left( \frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}t} \cdot e^{-t} \right) e^{-t} \\
\frac{\mbox{d}^2f}{\mbox{d}r^2}=\left(\frac{\mbox{d}^2f}{\mbox{d}t^2}e^{-t}-e^{-t} \frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}t}\right)e^{-t}\\
\frac{\mbox{d}^2f}{\mbox{d}r^2}=e^{-2t}\left(\frac{\mbox{d}^2f}{\mbox{d}t^2}- \frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}t}\right) \\
r^2\frac{\mbox{d}^2f}{\mbox{d}r^2}=e^{-2t}\left(\frac{\mbox{d}^2f}{\mbox{d}t^2}- \frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}t}\right)e^{2t}\\
r^2\frac{\mbox{d}^2f}{\mbox{d}r^2}=\frac{\mbox{d}^2f}{\mbox{d}t^2}- \frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}t}\\
}\)
\(\displaystyle{
\frac{\mbox{d}^2f}{\mbox{d}t^2}- \frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}t}+\frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}t}-f=-ke^{3t}\\
\frac{\mbox{d}^2f}{\mbox{d}t^2}-f = -ke^{3t}\\
}\)