Równanie różniczkowe zwyczajne 4 rzędu - niezrozumiałe przejście

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
adekkepki17
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 15 sty 2021, o 23:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Podziękował: 6 razy

Równanie różniczkowe zwyczajne 4 rzędu - niezrozumiałe przejście

Post autor: adekkepki17 »

Proszę o pomoc z tym równaniem. Otóż w książce znajduję następujące równanie różniczkowe [1]:
\(\displaystyle{ \frac{d^{4}\Omega}{dr^{4}}+\frac{2}{r}\frac{d^{3}\Omega}{dr^{3}}-\frac{1}{r^{2}}\frac{d^{2}\Omega}{dr^{2}}+\frac{1}{r^{3}}\frac{d\Omega}{dr} [1]}\)
Dalej pisze, że jest to równanie różniczkowe zwyczajne i że można je sprowadzić do liniowego równania różniczkowego ze stałymi współczynnikami drogą wprowadzenia nowej zmiennej takiej, że \(\displaystyle{ r=e^{t}}\). Dalej jest napisane, że postępując w ten sposób można "łatwo" otrzymać ogólne równanie różniczkowe w postaci [2]:
\(\displaystyle{ \Omega=A \ln(r)+Br^{2}\ln(r)+Cr^{2}+D[2]}\)
Dalej stałe wyznaczam z warunków brzegowych. Wiem dalej jak wszystko robić.
Czy moglibyście mi pomóc jak przejść z tego równania [1] do równania [2] ale tak "step by step".

Z góry wielkie dzięki.
A.
Ostatnio zmieniony 1 lut 2021, o 12:11 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Równanie różniczkowe zwyczajne 4 rzędu - niezrozumiałe przejście

Post autor: a4karo »

Napisz równanie [1] po zamianie zmiennych. Narysuj wielomian charakterystyczny, rozwiąż równanie liniowe, pomyśl.
adekkepki17
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 15 sty 2021, o 23:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Podziękował: 6 razy

Re: Równanie różniczkowe zwyczajne 4 rzędu - niezrozumiałe przejście

Post autor: adekkepki17 »

Ok. Nie wiem czy dobrze to robię. Dajcie znać. A więc równanie [1] mam w postaci:
\(\displaystyle{ f^{\prime\prime\prime\prime}+\frac{2}{r}f^{\prime\prime\prime}-\frac{1}{r^{2}}f^{\prime\prime}+\frac{1}{r^{3}}f^{\prime}=0}\)
Dalej piszę równanie charakterystyczne:
\(\displaystyle{ \lambda^{4}+\frac{2}{r}\lambda^{3}-\frac{1}{r^{2}}\lambda^{2}+\frac{1}{r^{3}}\lambda=0}\)
Dzielę obie strony przez \(\displaystyle{ \lambda}\):
\(\displaystyle{ \lambda^{3}+\frac{2}{r}\lambda^{2}-\frac{1}{r^{2}}\lambda+\frac{1}{r^{3}}=0}\)
Grupuję pierwsze dwa elementy razem i kolejne 2 razem:
\(\displaystyle{ \lambda^{2}(\lambda+\frac{2}{r})-\frac{1}{r^{2}}(\lambda-\frac{1}{r})=0}\)
Z \(\displaystyle{ \lambda^{2}}\) mam:
\(\displaystyle{ \lambda_1,_2=0}\)
A dalej to co mam w obu nawiasach przyrównuję do 0 i mam:
\(\displaystyle{ \lambda_3=-\frac{2}{r}}\) oraz \(\displaystyle{ \lambda_4=\frac{1}{r}}\)
To wszystko mi daje rozwiązanie w postaci:
\(\displaystyle{ f(r)=C_1e^{0\cdot r}+C_2re^{0\cdot r}+C_3e^{-\frac{2}{r}\cdot r}+C_4e^{\frac{1}{r}\cdot r}}\)
Czyli ostatecznie mam:
\(\displaystyle{ f(r)=C_1+C_2r+C_3e^{-2}+C_4e}\)
Takie coś jest poprawnie ? Jak się to ma do tego co powinno wyjść ? Nie podstawiałem za \(\displaystyle{ r=e^{t}}\) bo nie wiem czy to w ogóle coś zmienia czy nie. Czy jakiś życzliwy człowiek mógłby mi podpowiedzieć co robię źle czy co powinienem poprawić ? A może całość tego co tu napisałem jest od początku zła ?

Pozdrawiam
A.
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Re: Równanie różniczkowe zwyczajne 4 rzędu - niezrozumiałe przejście

Post autor: Mariusz M »

Skoro ci zasugerowali to podstawienie to może dobrze by było z tego podstawienia skorzystać

\(\displaystyle{ \frac{d^{4}\Omega}{dr^{4}}+\frac{2}{r}\frac{d^{3}\Omega}{dr^{3}}-\frac{1}{r^{2}}\frac{d^{2}\Omega}{dr^{2}}+\frac{1}{r^{3}}\frac{d\Omega}{dr} =0[1]\\
r^4\frac{d^{4}\Omega}{dr^{4}}+2r^3\frac{d^{3}\Omega}{dr^{3}}-r^2\frac{d^{2}\Omega}{dr^{2}}+r\frac{d\Omega}{dr} =0\\
r=e^{t}\\
\frac{ \dd r}{ \dd t} = e^{t}\\
\frac{ \dd r}{ \dd t} = r\\
\frac{ \dd \Omega}{ \dd r} = \frac{ \dd \Omega}{ \dd t} \cdot \frac{ \dd t}{ \dd r} \\
\frac{ \dd \Omega}{ \dd r} = \frac{ \dd \Omega}{ \dd t} \cdot\frac{1}{r}\\
r\frac{ \dd \Omega}{ \dd r} = \frac{ \dd \Omega}{ \dd t}\\
\frac{ \dd^2 \Omega}{ \dd r^2}= \frac{ \dd }{ \dd r } \left( \frac{ \dd \Omega}{ \dd r}\right) \\
\frac{ \dd^2 \Omega}{ \dd r^2}= \frac{ \dd }{ \dd t}\left( \frac{ \dd \Omega}{ \dd t} \cdot e^{-t} \right) \cdot e^{-t}\\
\frac{ \dd^2 \Omega}{ \dd r^2}= \left( \frac{ \dd^2 \Omega}{ \dd t^2}e^{-t}- \frac{ \dd \Omega}{ \dd t}e^{-t} \right) e^{-t}\\
\frac{ \dd^2 \Omega}{ \dd r^2}= \left( \frac{ \dd^2 \Omega}{ \dd t^2} - \frac{ \dd \Omega}{ \dd t}\right)e^{-2t} \\
r^2 \frac{ \dd^2 \Omega}{ \dd r^2}=\frac{ \dd^2 \Omega}{ \dd t^2} - \frac{ \dd \Omega}{ \dd t}\\
\frac{ \dd^3 \Omega}{ \dd r^3} = \frac{ \dd }{ \dd r}\left(\frac{ \dd^2 \Omega}{ \dd r^2} \right) \\
\frac{ \dd^3 \Omega}{ \dd r^3} = \frac{ \dd }{ \dd t} \left(\left( \frac{ \dd^2 \Omega}{ \dd t^2} - \frac{ \dd \Omega}{ \dd t}\right)e^{-2t} \right)e^{-t}\\
\frac{ \dd^3 \Omega}{ \dd r^3} = \left(\left( \frac{ \dd^3 \Omega}{ \dd t^3} - \frac{ \dd^2 \Omega}{ \dd t^2} \right)e^{-2t}-2\left( \frac{ \dd^2 \Omega}{ \dd t^2} - \frac{ \dd \Omega}{ \dd t}\right)e^{-2t} \right)e^{-t}\\
\frac{ \dd^3 \Omega}{ \dd r^3} = \left(\frac{ \dd^3 \Omega}{ \dd t^3} - 3\frac{ \dd^2 \Omega}{ \dd t^2} + 2\frac{ \dd \Omega}{ \dd t}\right)e^{-3t}\\
r^3\frac{ \dd^3 \Omega}{ \dd r^3} = \frac{ \dd^3 \Omega}{ \dd t^3} - 3\frac{ \dd^2 \Omega}{ \dd t^2} + 2\frac{ \dd \Omega}{ \dd t}\\
\frac{ \dd^4 \Omega}{ \dd r^4} = \frac{ \dd }{ \dd r}\left( \frac{ \dd^3 \Omega}{ \dd r^3} \right)\\
\frac{ \dd^4 \Omega}{ \dd r^4} = \frac{ \dd }{ \dd t} \left( \left(\frac{ \dd^3 \Omega}{ \dd t^3} - 3\frac{ \dd^2 \Omega}{ \dd t^2} + 2\frac{ \dd \Omega}{ \dd t}\right)e^{-3t}\right)e^{-t}\\
\frac{ \dd^4 \Omega}{ \dd r^4} = \left( \left(\frac{ \dd^4 \Omega}{ \dd t^4} - 3\frac{ \dd^3 \Omega}{ \dd t^3} + 2\frac{ \dd^2 \Omega}{ \dd t^2} \right)e^{-3t}-3\left( \frac{ \dd^3 \Omega}{ \dd t^3} - 3\frac{ \dd^2 \Omega}{ \dd t^2} + 2\frac{ \dd \Omega}{ \dd t}\right) e^{-3t} \right)e^{-t}\\
\frac{ \dd^4 \Omega}{ \dd r^4} = \left( \frac{ \dd^4 \Omega }{ \dd t^4} - 6\frac{ \dd^3 \Omega }{ \dd t^3} + 11\frac{ \dd^2 \Omega }{ \dd t^2}-6\frac{ \dd \Omega }{ \dd t} \right)e^{-4t} \\
r^4\frac{ \dd^4 \Omega}{ \dd r^4}=\frac{ \dd^4 \Omega }{ \dd t^4} - 6\frac{ \dd^3 \Omega }{ \dd t^3} + 11\frac{ \dd^2 \Omega }{ \dd t^2}-6\frac{ \dd \Omega }{ \dd t} \\
}\)


\(\displaystyle{
\frac{d^{4}\Omega}{dr^{4}}+\frac{2}{r}\frac{d^{3}\Omega}{dr^{3}}-\frac{1}{r^{2}}\frac{d^{2}\Omega}{dr^{2}}+\frac{1}{r^{3}}\frac{d\Omega}{dr} =0[1]\\
r^4\frac{d^{4}\Omega}{dr^{4}}+2r^3\frac{d^{3}\Omega}{dr^{3}}-r^2\frac{d^{2}\Omega}{dr^{2}}+r\frac{d\Omega}{dr} =0\\
\left(\frac{ \dd^4 \Omega }{ \dd t^4} - 6\frac{ \dd^3 \Omega }{ \dd t^3} + 11\frac{ \dd^2 \Omega }{ \dd t^2}-6\frac{ \dd \Omega }{ \dd t} \right)+2\left(\frac{ \dd^3 \Omega}{ \dd t^3} - 3\frac{ \dd^2 \Omega}{ \dd t^2} + 2\frac{ \dd \Omega}{ \dd t} \right)-\left(\frac{ \dd^2 \Omega}{ \dd t^2} - \frac{ \dd \Omega}{ \dd t} \right) + \frac{ \dd \Omega}{ \dd t} = 0\\
\frac{ \dd^4 \Omega}{\dd t^4} - 4 \frac{ \dd^3 \Omega}{\dd t^3}+4 \frac{ \dd^2 \Omega}{\dd t^2} = 0\\
}\)
adekkepki17
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 15 sty 2021, o 23:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Podziękował: 6 razy

Re: Równanie różniczkowe zwyczajne 4 rzędu - niezrozumiałe przejście

Post autor: adekkepki17 »

mariuszm znakomicie to rozpisałeś. Czy mógłbyś mi jeszcze pomóc z jedną sprawą? Jeśli w równaniu [1] pojawiłby się po prostu człon omega to jak należałoby go rozpisać? W domyśle przed zamianą zmiennych jest to omega w funkcji r ale po zamianie zmiennych ma być to przecież omega w funkcji t. Z góry ogromne dzięki.
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Re: Równanie różniczkowe zwyczajne 4 rzędu - niezrozumiałe przejście

Post autor: Mariusz M »

Gdyby w równaniu pojawił się wyraz z omega to go zostawiasz i traktujesz tak jakby zależał od t
Współczynnik przy omega zapisujesz tak aby zależał od t (oczywiście zgodnie z przyjętym podstawieniem)
Aby równanie liniowe czwartego rzędu można było sprowadzić do równania liniowego czwartego rzędu o stałych współczynnikach
podstawieniem które ci zaproponowano to w wyjściowym równaniu współczynnik przy omega powinien wynosić
\(\displaystyle{ \frac{a}{r^4}}\) gdzie \(\displaystyle{ a = const}\)
adekkepki17
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 15 sty 2021, o 23:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Podziękował: 6 razy

Re: Równanie różniczkowe zwyczajne 4 rzędu - niezrozumiałe przejście

Post autor: adekkepki17 »

Powiedzmy teraz, że zaczynam od równania:
\(\displaystyle{ (\frac{d^2}{dr^2}+\frac{1}{r}\frac{d}{dr}-\frac{1}{r^2})(\frac{d^2f}{dr^2}+\frac{1}{r}\frac{df}{dr}-\frac{f}{r^2})=0}\)
Po wymnożeniu mam wyrażenie:
\(\displaystyle{ \frac{d^4f}{dr^4}+\frac{1}{r}\frac{d^3f}{dr^3}-\frac{1}{r^2}\frac{d^2f}{dr^2}+\frac{1}{r}\frac{d^3f}{dr^3}+\frac{1}{r^2}\frac{d^2f}{dr^2}-\frac{1}{r^3}\frac{df}{dr}-\frac{1}{r^2}\frac{d^2f}{dr^2}-\frac{1}{r^3}\frac{df}{dr}+\frac{1}{r^4}f=0}\)
Po pogrupowaniu wyrazów mam:
\(\displaystyle{ \frac{d^4f}{dr^4}+\frac{2}{r}\frac{d^3f}{dr^3}-\frac{1}{r^2}\frac{d^2f}{dr^2}-\frac{2}{r^3}\frac{df}{dr}+\frac{1}{r^4}f=0}\)
Po pomnożeniu całego równania przez \(\displaystyle{ r^4}\) mam:
\(\displaystyle{ r^4\frac{d^4f}{dr^4}+2r^3\frac{d^3f}{dr^3}-r^2\frac{d^2f}{dr^2}-2r\frac{df}{dr}+f=0}\)
I tutaj jest bardzo podobnie jak we wcześniejszym przypadku. Zależności na: \(\displaystyle{ r^4\frac{d^4f}{dr^4}}\), \(\displaystyle{ r^3\frac{d^3f}{dr^3}}\), \(\displaystyle{ r^2\frac{d^2f}{dr^2}}\), \(\displaystyle{ r\frac{df}{dr}}\) zostały już zapisane wyżej więc nie będę ich tutaj powtarzał.
Jeśli dobrze zrozumiałem za \(\displaystyle{ f(r)}\) mam po prostu zapisać \(\displaystyle{ f(t)}\).
Wówczas jak to wszystko powstawiam to otrzymam:
\(\displaystyle{ \frac{d^4f}{dt^4}-4\frac{d^3f}{dt^3}+4\frac{d^2f}{dr^2}-3\frac{df}{dr}+f=0}\).
Oczywiście zamieniam to na równanie charakterystyczne, które nie posiada 4 pierwiastków całkowitych podczas gdy w książce mam napisane, że rozwiązaniem mojego równania powinno być:
\(\displaystyle{ f(r)=Ar^3+B\frac{1}{r}+Cr+Dr\ln(r)}\).
Czy gdzieś robię błąd?
Z góry ogromne dzięki za odpowiedź.
A.
Ostatnio zmieniony 29 lip 2021, o 02:47 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Równanie różniczkowe zwyczajne 4 rzędu - niezrozumiałe przejście

Post autor: a4karo »

Tego
\(\displaystyle{ \red{(\frac{d^2}{dr^2}+\frac{1}{r}\frac{d}{dr}-\frac{1}{r^2})}\blue{(\frac{d^2f}{dr^2}+\frac{1}{r}\frac{df}{dr}-\frac{f}{r^2})}=0}\)
sie nie wymnaża. Czerwone to operator, który działa na niebieską funkcję.
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Re: Równanie różniczkowe zwyczajne 4 rzędu - niezrozumiałe przejście

Post autor: Mariusz M »

@a4karo po tym jak sprawdziłem czy dobrze zamienił zmienne , też doszedłem do tego że błąd może być tam gdzie wskazałeś
adekkepki17
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 15 sty 2021, o 23:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Podziękował: 6 razy

Re: Równanie różniczkowe zwyczajne 4 rzędu - niezrozumiałe przejście

Post autor: adekkepki17 »

Czyli jak mam to rozpisać? Niby wymnożyć pierwszy z czerwonego razy pierwszy z niebieskiego, dalej drugi z czerwonego razy drugi z niebieskiego? Moglibyście mi to rozpisać pierwsze równanie? Dalej dam radę.
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Re: Równanie różniczkowe zwyczajne 4 rzędu - niezrozumiałe przejście

Post autor: Mariusz M »

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}r} }\)
oznacza obliczenie pierwszej pochodnej z funkcji w niebieskim nawiasie u a4karo
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}^2}{ \mbox{d}r^2} }\)
oznacza obliczenie drugiej pochodnej z funkcji w niebieskim nawiasie u a4karo


\(\displaystyle{ \red{(\frac{d^2}{dr^2}+\frac{1}{r}\frac{d}{dr}-\frac{1}{r^2})}\blue{(\frac{d^2f}{dr^2}+\frac{1}{r}\frac{df}{dr}-\frac{f}{r^2})}=0}\)

Funkcję \(\displaystyle{ \frac{d^2f}{dr^2}+\frac{1}{r}\frac{df}{dr}-\frac{f}{r^2}}\) mnożysz przez \(\displaystyle{ -\frac{1}{r^2}}\)
do tego dodajesz pochodną funkcji \(\displaystyle{ \frac{d^2f}{dr^2}+\frac{1}{r}\frac{df}{dr}-\frac{f}{r^2}}\) pomnożoną przez \(\displaystyle{ \frac{1}{r}}\)
a do tego dodajesz drugą pochodną funkcji \(\displaystyle{ \frac{d^2f}{dr^2}+\frac{1}{r}\frac{df}{dr}-\frac{f}{r^2}}\)
adekkepki17
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 15 sty 2021, o 23:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Podziękował: 6 razy

Re: Równanie różniczkowe zwyczajne 4 rzędu - niezrozumiałe przejście

Post autor: adekkepki17 »

Panowie melduję, że działa. Dzięki wielkie za pomoc !!! Jesteście super.

Dodano po 1 godzinie 5 minutach 27 sekundach:
Ostatnie pytanie o nomenklaturę. Czy te równania od których zaczynam są równaniami nieliniowym? Czy mogę powiedzieć, że startuję z nieliniowego równania różniczkowego zwyczajnego a kończę na liniowym (lub o stałych współczynnikach) równaniu różniczkowym zwyczajnym?
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Re: Równanie różniczkowe zwyczajne 4 rzędu - niezrozumiałe przejście

Post autor: Mariusz M »

Te równania od których zaczynasz są równaniami liniowymi tyle że współczynniki nie są stałe
Akurat w przypadku równań które tutaj podałeś bywają one nazywane równaniami Eulera ale nadal są liniowe
adekkepki17
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 15 sty 2021, o 23:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Podziękował: 6 razy

Re: Równanie różniczkowe zwyczajne 4 rzędu - niezrozumiałe przejście

Post autor: adekkepki17 »

Jeszcze jedno pytanie. Co jeśli w dowolnym z powyższych równań pojawi się człon \(\displaystyle{ r^3k}\)? Elemet k to jest stała. Ale jest pomnożony przez \(\displaystyle{ r^3}\). Ten element mam przerzucić na prawo i rozwiązać jak równanie niejednorodne? Mam dalej wprowadzać podstawienie za \(\displaystyle{ r=e^t}\)?
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Re: Równanie różniczkowe zwyczajne 4 rzędu - niezrozumiałe przejście

Post autor: Mariusz M »

Jeżeli współczynnik \(\displaystyle{ k r^3}\) nie będzie stał przy \(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}^3y}{\mbox{d}r^3} }\)
to podstawienie \(\displaystyle{ r=e^{t}}\) może nie zadziałać
ODPOWIEDZ