Równanie różniczkowe pierwszego rzędu - metoda uzmienniania

[bartekw2213]

Witam, mam pytanie odnośnie rozwiązywania równań różniczkowych pierwszego rzędu metodą uzmienniania stałych. Najlepiej może będzie jeśli przedstawię to na przykładzie, posłużę się poniższym równaniem.

\(\displaystyle{ y' +y\cos(x) = \sin(x)\cos(x)}\)

Najpierw wyliczam sobie całkę ogólną równania jednorodnego.

\(\displaystyle{
\quad y' + y\cos(x) = 0 \\
\quad y_0 = C \cdot e^{-\sin(x)} \longleftarrow \mbox{moja całka ogólna równania jednorodnego}}\)

Następnie uzmienniam stałą w poszukiwaniu całki szczególnej równania niejednorodnego.

\(\displaystyle{
\quad y_s = C(x) \cdot e^{-\sin(x)} \\
\quad y_s = \sin(x) - 1 + Ce^{-\sin(x)}\longleftarrow \mbox{moja całka szczególna równania niejednorodnego}}\)

I teraz moje pytanie, co jest rozwiązaniem naszego pierwotnego równania różniczkowego napisanego na samym początku - sama CSRN czyli \(y_s\) czy suma \(y_0 \mbox{ i } y_s\)?

[pkrwczn]

Rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ y=C(x) e^{-\sin(x)}}\), ale nie dokończyłeś.

Wstawiając to do \(\displaystyle{ y' +y\cos(x) = \sin(x)\cos(x)}\) otrzymujemy

\(\displaystyle{ C(x)=\int e^{\sin(x)}\sin(x)\cos(x)=e^{\sin(x)}\sin(x)-e^{\sin(x)}+C_1}\)

i \(\displaystyle{ C_1}\) jest stałą.

\(\displaystyle{ y(x)=C(x) e^{-\sin(x)}=\sin(x)-1+C_1 e^{-\sin(x)}}\).

I teraz moje pytanie, co jest rozwiązaniem naszego pierwotnego równania różniczkowego napisanego na samym początku - sama CSRN czyli ys czy suma y0 i ys?

Oba stwierdzenia są równoznaczne. Pełne rozwiązanie zależałoby od warunku początkowego.