Metoda przewidywań

[bartekw2213]

Witam, mam problem z wyznaczeniem "rozwiązania przewidywanego" poniższego równania różniczkowego

\(\displaystyle{ y'' - 4y' + 4y = 2e^{2x} + 4x - 12}\)

Najpierw obliczam sobie rozwiązanie jednorodne:

\(\displaystyle{ y_j = C_1e^{2x} + C_2e^{2x}}\)

Następnie biorę się za wyzaczanie rozwiązania przewidywanego. \(\displaystyle{ r(x) = 2e^{2x} + 4x - 12}\) rozdzielam sobie na dwie części

\(\displaystyle{ r_1(x) = 2e^{2x}}\)

\(\displaystyle{ y_{p1} = (Ax +B)e^{2x}}\)

Czy postać ogólna wyznaczonego przeze mnie \(\displaystyle{ y_{p1}}\) jest poprawna? Czy jakkolwiek jego postać nie "zazębia się" z wyznaczonym już rozwiązaniem jednorodnym równania \(\displaystyle{ y_j}\)

[kerajs]

Najpierw obliczam sobie rozwiązanie jednorodne:

\(\displaystyle{ y_j = C_1e^{2x} + C_2e^{2x}}\)

Raczej:
\(\displaystyle{ y_j = C_1e^{2x} + C_2xe^{2x}}\)

Następnie biorę się za wyzaczanie rozwiązania przewidywanego. \(\displaystyle{ r(x) = 2e^{2x} + 4x - 12}\) rozdzielam sobie na dwie części

\(\displaystyle{ r_1(x) = 2e^{2x}}\)

\(\displaystyle{ y_{p1} = (Ax +B)e^{2x}}\)

Raczej
\(\displaystyle{ y_{p1} = Ax +B}\)

Czy postać ogólna wyznaczonego przeze mnie \(\displaystyle{ y_{p1}}\) jest poprawna? Czy jakkolwiek jego postać nie "zazębia się" z wyznaczonym już rozwiązaniem jednorodnym równania \(\displaystyle{ y_j}\)

Owszem, przewidywanie dubluje rozwiązanie równania jednorodnego, i dlatego powinno być:
\(\displaystyle{ r_1(x) = Cx^2e^{2x}}\)