\(\displaystyle{ 2y'' + 4y' = e^x + 4x}\)
Próbuję rozwiązać to metodą przewidywań, więc najpierw rozwiązuję równanie jednorodne, z którego otrzymuję
\(\displaystyle{ y_j = C_1 + C_2e^{-2x}}\)
Następnie zajmuję się znalezieniem równania przewidywanego na podstawie \(\displaystyle{ r(x) = e^x + 4x}\)Rozdzielam sobie te \(\displaystyle{ r(x)}\).
\(\displaystyle{ r_1(x) = e^x}\)
\(\displaystyle{ y_{p1} = Ae^x}\)
\(\displaystyle{ y_{p1}' = Ae^x}\)
\(\displaystyle{ y_{p1}'' = Ae^x}\)
Wstawiam to sobie do pierwotnego równania i otrzymuję \(\displaystyle{ y_{p1}}\). Problem zaczyna się teraz gdy próbuję obliczyć \(\displaystyle{ y_{p2}}\)
\(\displaystyle{ r_2(x) = 4x}\)
\(\displaystyle{ y_{p2} = Bx + C}\)
\(\displaystyle{ y_{p2}' = B}\)
\(\displaystyle{ y_{p2}'' = 0}\)
Wstawiam to sobie do naszego równania i otrzymuję
\(\displaystyle{ 2 \cdot 0 + 4 \cdot B = 4x}\)
No i brakuje mi teraz niewiadomej \(\displaystyle{ x}\) po lewej stronie, czy zrobiłem gdzieś błąd? Może powinienem był obrać inną metodę?
