Czynnik całkujący

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
malwinka1058
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 163
Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
Płeć: Kobieta
Podziękował: 2 razy

Czynnik całkujący

Post autor: malwinka1058 »

Znaleźć czynnik całkujący \(\displaystyle{ \mu(x,y)}\) taki, aby równanie

\(\displaystyle{ (\sin(4y)+\frac{2}{x}\sin(2y))dx-2x\sin^{2}(2y)dy=0}\) było zupełne.
Ostatnio zmieniony 15 lis 2020, o 10:05 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Czynnik całkujący

Post autor: kerajs »

\(\displaystyle{ x \neq 0}\)
Ciut uproszczę, aby szukać czynnika całkującego z prostszego równania:
\(\displaystyle{ (\sin(4y)+\frac{2}{x}\sin(2y))\dd x-2x\sin^{2}(2y)\dd y=0\\
2\sin 2y\left[ (x\cos 2y +1) \dd x +(-x^2\sin 2y)\dd y\right] =0
}\)

Ponieważ, przez przypadek, równanie w nawiasie kwadratowym jest równaniem typu różniczka zupełna, to już nic nie trzeba robić. Czynnikiem który sam się ujawnił było wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{x}{2\sin 2y} }\) .
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Re: Czynnik całkujący

Post autor: Mariusz M »

Ja podstawieniami \(\displaystyle{ y\left( x\right)=\arctan{\left( u\left( x\right) \right) } }\)
oraz \(\displaystyle{ v\left( x\right)=1+u^2\left( x\right) }\)
sprowadziłem to równanie do równania Bernoulliego
ODPOWIEDZ