Równanie różniczkowe

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
malwinka1058
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 163
Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
Płeć: Kobieta
Podziękował: 2 razy

Równanie różniczkowe

Post autor: malwinka1058 »

Rozwiązać równanie różniczkowe

\(\displaystyle{ \left( \frac{x^{2}}{y}-y^{3}\right)\frac{dy}{dx}=x}\).
Ostatnio zmieniony 14 lis 2020, o 01:31 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Równanie różniczkowe

Post autor: kerajs »

\(\displaystyle{ \left( \frac{x^{2}}{y}-y^{3}\right)\frac{dy}{dx}=x \\
\frac{x^{2}}{y}-y^{3}=xx'\\
x'- \frac{1}{y}x= \frac{-y^3}{x} \ \ \ \ \ \wedge \ \ x \neq 0}\)

Czy to nie jest równanie Bernoulliego?

PS
A co dostanie się jeśli \(\displaystyle{ x=0}\) ?
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Re: Równanie różniczkowe

Post autor: Mariusz M »

\(\displaystyle{ \left( \frac{x^{2}}{y}-y^{3}\right)\frac{dy}{dx}=x}\)

Można też sprowadzić do równania o rozdzielonych zmiennych

\(\displaystyle{ \left( \frac{x^{2}}{y}-y^{3}\right)\frac{dy}{dx}=x\\
\frac{dy}{dx}= \frac{x}{\frac{x^{2}}{y}-y^{3}} \\
\frac{dy}{dx}= \frac{xy}{x^2-y^4} \\
\frac{dy}{dx}= \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{x- \frac{y^4}{x} } \\
\frac{dy}{dx}= \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{1-\frac{y^4}{x^2}} \\
\frac{dy}{dx}= \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{1 - \left( \frac{y^2}{x} \right)^2 }\\
2y\frac{dy}{dx}= 2\frac{y^2}{x} \cdot \frac{1}{1 - \left( \frac{y^2}{x} \right)^2 }\\
y^2=ux\\
2yy'=u'x+u\\
u'x+u= \frac{2u}{1-u^2} \\
u'x=\frac{2u}{1-u^2}-u\\
u'x=\frac{u+u^3}{1-u^2}\\
\frac{1-u^2}{u^3+u} \dd u = \frac{1}{x} \dd x \\
\frac{\left( 1+u^2\right) - 2u^2}{u\left( u^2+1\right) } \dd u= \frac{1}{x} \dd x \\
\left( \frac{1}{u}- \frac{2u}{u^2+1} \right) \dd u = \frac{1}{x} \dd x \\
\left( ln{\left| u\right| }-\ln{\left| u^2+1\right| }\right) =\ln{\left| x\right| }+C_{1}\\
\ln{ \frac{u}{u^2+1} }=\ln{\left|C_{2} x\right| }\\
\ln{ \frac{ux^2}{u^2x^2+x^2} }=\ln{\left|C_{2} x\right| }\\
\ln{ \frac{xy^2}{y^4+x^2} }=\ln{\left|C_{2} x\right| }\\
\frac{xy^2}{y^4+x^2}=Cx\\
\frac{y^2}{y^4+x^2}=C\\
}\)
ODPOWIEDZ