Pewna krzywa na płaszczyźnie Oxy przechodzi przez środek układu współrzędnych. W każdym punkcie tej krzywej tangens kąta pomiędzy osią Ox a styczną jest równy sumie rzędnej i podniesionej do kwadratu odciętej punktu styczności. Wyznacz równanie tej krzywej.
Tak ma to wyglądać ?
\(\displaystyle{ x+y ^{2} = y' }\)
Jest to Riccati, ale nie mam pojęcia jakie będzie rozwiązanie szczególne...
Równianie różniczkowe, zadanie praktyczne
-
Uniter
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 11 lip 2019, o 11:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Sącz
- Podziękował: 1 raz
Równianie różniczkowe, zadanie praktyczne
Ostatnio zmieniony 9 lis 2020, o 01:59 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Równianie różniczkowe, zadanie praktyczne
Rzędna to \(\displaystyle{ y }\), odcięta to \(\displaystyle{ x }\) na płaszczyźnie \(\displaystyle{ OXY }\)
\(\displaystyle{ y'(x) = y(x) + x^2 }\)
\(\displaystyle{ y(0) = 0. }\)
Jest to równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu- liniowe niejednorodne.
Proszę rozwiązać ten problem Cauchy jedną z metod:
-uzmiennienia stałej,
- przewidywania,
- czynnika całkującego,
- rachunku operatorowego Mikusińskiego,
- przekształcenia Laplace'a.
\(\displaystyle{ y'(x) = y(x) + x^2 }\)
\(\displaystyle{ y(0) = 0. }\)
Jest to równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu- liniowe niejednorodne.
Proszę rozwiązać ten problem Cauchy jedną z metod:
-uzmiennienia stałej,
- przewidywania,
- czynnika całkującego,
- rachunku operatorowego Mikusińskiego,
- przekształcenia Laplace'a.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Równianie różniczkowe, zadanie praktyczne
\(\displaystyle{ sY\left( s\right)=Y\left( s\right)+ \frac{2}{s^3}\\
\left( s-1\right)Y\left( s\right)= \frac{2}{s^3}\\
Y\left( s\right)= \frac{1}{s^3\left( s-1\right) } \\
Y\left( s\right)=\frac{s^3-\left( s^3-1\right) }{s^3\left( s-1\right)}\\
Y\left( s\right)= \frac{1}{s-1} - \frac{s^2+s+1}{s^3}\\
Y\left( s\right)=\frac{1}{s-1} - \frac{1}{s} - \frac{1}{s^2} - \frac{1}{s^3}\\
y\left( x\right) = e^{x} - 1 - x -\frac{1}{2}x^2\\
}\)
Dodano po 2 godzinach 51 minutach 28 sekundach:
Jeśli chodzi o równanie które błędnie otrzymałeś to
\(\displaystyle{ x+y ^{2} = y' }\)
\(\displaystyle{ u=e^{- \int{y \dd x }}\\
u'=-ye^{- \int{y \dd x }}\\
u'=-yu\\
u''=-y'u-yu'\\
u''+yu'=-y'u\\
y'=-\frac{u''+yu'}{u}\\
y=-\frac{u'}{u}\\
y'=-\frac{u''-\frac{u'}{u}u'}{u}\\
y'=-\frac{u''}{u}+\left( \frac{u'}{u}\right)^2\\
y'=y^2+x\\
-\frac{u''}{u}+\left( \frac{u'}{u}\right)^2=\left(-\frac{u'}{u} \right)^{2}+x\\
-\frac{u''}{u} - x = 0\\
u'' +xu=0\\
}\)
\(\displaystyle{ u\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }c_{n}x^{n}\\
\sum_{n=0}^{ \infty }n\left( n-1\right)c_{n}x^{n-2}+ \sum_{n=0}^{ \infty } c_{n}x^{n+1}=0\\
\sum_{n=2}^{ \infty }n\left( n-1\right)c_{n}x^{n-2}+ \sum_{n=0}^{ \infty } c_{n}x^{n+1}=0\\
\sum_{n=0}^{ \infty }\left( n+2\right) \left( n+1\right)c_{n+2}x^{n}+ \sum_{n=0}^{ \infty } c_{n}x^{n+1}=0\\
c_{0} + \sum_{n=1}^{ \infty }\left( n+2\right) \left( n+1\right)c_{n+2}x^{n}+ \sum_{n=0}^{ \infty } c_{n}x^{n+1}=0\\
c_{0} + \sum_{n=0}^{ \infty }\left( n+3\right) \left( n+2\right)c_{n+3}x^{n+1}+ \sum_{n=0}^{ \infty } c_{n}x^{n+1}=0\\
c_{0} + \sum_{n=0}^{ \infty }\left[\left( n+3\right) \left( n+2\right)c_{n+3}+ c_{n}\right] x^{n+1} = 0\\
\begin{cases} c_{0}=0 \\ \left( n+3\right) \left( n+2\right)c_{n+3}+ c_{n} = 0 \end{cases} \\
\begin{cases} c_{0}=0 \\c_{n+3}=-\frac{1}{\left( n+3\right) \left( n+2\right)}c_{n} \end{cases} \\
\begin{cases} c_{0}=0 \\\left( n+3\right)! c_{n+3}=-\frac{\left( n+3\right)! }{\left( n+3\right) \left( n+2\right)}c_{n} \end{cases} \\
\begin{cases} c_{0}=0 \\\left( n+3\right)! c_{n+3}=-\left( n+1\right)n! c_{n} \end{cases} \\
b_{n}=n!c_{n}\\
\begin{cases} b_{0}=0\\b_{n+3}=-\left( n+1\right)b_{n} \end{cases}
}\)
Dodano po 48 minutach 14 sekundach:
Teraz jeżeli przyjmiemy że
\(\displaystyle{ b_{0}=0\\b_{1}=1\\b_{2}=0}\)
to całka szczególna tego równania drugiego rzędu wyrazi się wzorem
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{\left( -3\right)^{n}\Gamma\left( n+ \frac{2}{3} \right) }{\Gamma\left( 3n+2\right)\Gamma\left( \frac{2}{3} \right) } x^{3n+1}}\)
\left( s-1\right)Y\left( s\right)= \frac{2}{s^3}\\
Y\left( s\right)= \frac{1}{s^3\left( s-1\right) } \\
Y\left( s\right)=\frac{s^3-\left( s^3-1\right) }{s^3\left( s-1\right)}\\
Y\left( s\right)= \frac{1}{s-1} - \frac{s^2+s+1}{s^3}\\
Y\left( s\right)=\frac{1}{s-1} - \frac{1}{s} - \frac{1}{s^2} - \frac{1}{s^3}\\
y\left( x\right) = e^{x} - 1 - x -\frac{1}{2}x^2\\
}\)
Dodano po 2 godzinach 51 minutach 28 sekundach:
Jeśli chodzi o równanie które błędnie otrzymałeś to
\(\displaystyle{ x+y ^{2} = y' }\)
\(\displaystyle{ u=e^{- \int{y \dd x }}\\
u'=-ye^{- \int{y \dd x }}\\
u'=-yu\\
u''=-y'u-yu'\\
u''+yu'=-y'u\\
y'=-\frac{u''+yu'}{u}\\
y=-\frac{u'}{u}\\
y'=-\frac{u''-\frac{u'}{u}u'}{u}\\
y'=-\frac{u''}{u}+\left( \frac{u'}{u}\right)^2\\
y'=y^2+x\\
-\frac{u''}{u}+\left( \frac{u'}{u}\right)^2=\left(-\frac{u'}{u} \right)^{2}+x\\
-\frac{u''}{u} - x = 0\\
u'' +xu=0\\
}\)
\(\displaystyle{ u\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }c_{n}x^{n}\\
\sum_{n=0}^{ \infty }n\left( n-1\right)c_{n}x^{n-2}+ \sum_{n=0}^{ \infty } c_{n}x^{n+1}=0\\
\sum_{n=2}^{ \infty }n\left( n-1\right)c_{n}x^{n-2}+ \sum_{n=0}^{ \infty } c_{n}x^{n+1}=0\\
\sum_{n=0}^{ \infty }\left( n+2\right) \left( n+1\right)c_{n+2}x^{n}+ \sum_{n=0}^{ \infty } c_{n}x^{n+1}=0\\
c_{0} + \sum_{n=1}^{ \infty }\left( n+2\right) \left( n+1\right)c_{n+2}x^{n}+ \sum_{n=0}^{ \infty } c_{n}x^{n+1}=0\\
c_{0} + \sum_{n=0}^{ \infty }\left( n+3\right) \left( n+2\right)c_{n+3}x^{n+1}+ \sum_{n=0}^{ \infty } c_{n}x^{n+1}=0\\
c_{0} + \sum_{n=0}^{ \infty }\left[\left( n+3\right) \left( n+2\right)c_{n+3}+ c_{n}\right] x^{n+1} = 0\\
\begin{cases} c_{0}=0 \\ \left( n+3\right) \left( n+2\right)c_{n+3}+ c_{n} = 0 \end{cases} \\
\begin{cases} c_{0}=0 \\c_{n+3}=-\frac{1}{\left( n+3\right) \left( n+2\right)}c_{n} \end{cases} \\
\begin{cases} c_{0}=0 \\\left( n+3\right)! c_{n+3}=-\frac{\left( n+3\right)! }{\left( n+3\right) \left( n+2\right)}c_{n} \end{cases} \\
\begin{cases} c_{0}=0 \\\left( n+3\right)! c_{n+3}=-\left( n+1\right)n! c_{n} \end{cases} \\
b_{n}=n!c_{n}\\
\begin{cases} b_{0}=0\\b_{n+3}=-\left( n+1\right)b_{n} \end{cases}
}\)
Dodano po 48 minutach 14 sekundach:
Teraz jeżeli przyjmiemy że
\(\displaystyle{ b_{0}=0\\b_{1}=1\\b_{2}=0}\)
to całka szczególna tego równania drugiego rzędu wyrazi się wzorem
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{\left( -3\right)^{n}\Gamma\left( n+ \frac{2}{3} \right) }{\Gamma\left( 3n+2\right)\Gamma\left( \frac{2}{3} \right) } x^{3n+1}}\)