Transformata Laplace'a

[Lucas96]

Witam, mam pewien problem ze znalezieniem transformaty funkcji:
\(\displaystyle{ f\left( t\right)= \sin(\omega t + T) }\)

Szukałem jakiś wzorów na transformaty z przesuniętymi funkcjami trygonometrycznymi ale coś nie mogę nic znaleźć

[kerajs]

A transformatę z funkcji:
\(\displaystyle{ f\left( t\right)= \sin(\omega t) \cos T+\cos(\omega t) \sin T}\)
potrafisz znaleźć?

[janusz47]

Z sinusa sumy dwóch argumentów

\(\displaystyle{ \sin(\omega t + T) = \cos(T)\sin(\omega t) + \sin(T)\cos(\omega t) }\)

Z własności transformacji Laplace'a

\(\displaystyle{ \mathcal {L}[\sin(\omega t + T)] = \cos(T)\mathcal{L}[\sin(\omega t)]+ \sin(T)\mathcal{L}[\cos(\omega t)]}\)

gdzie

\(\displaystyle{ \mathcal{L}[\sin(\omega t)] = \frac{\omega}{s^2 +\omega^2} \ \ (1)}\)

\(\displaystyle{ \mathcal{L}[\cos(\omega t)] = \frac{s}{s^2 +\omega^2} \ \ (2) }\)

Proszę potwierdzić transformaty \(\displaystyle{ (1), (2), }\) obliczając je z definicji przekształcenia Laplace'a.

Wskazówka

Skorzystać ze wzoru Eulera \(\displaystyle{ e^{j\omega t} = \cos(\omega t) + j\sin(\omega t).}\)

[Lucas96]

Dziękuję za pomoc w rozpisaniu bo transformaty sinusa czy cosinusa potrafię zrobić.

PS. W jakich źródłach mogę znaleźć tego typu zależności?

[janusz47]

W podręcznikach z przekształceniem Laplace'a, na przykład

Dobiesław Bobrowski, Zbigniew Ratajczak. Przekształcenie Laplace'a i jego zastosowania, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej Poznań 1981.

Rachunek operatorowy Jana Mikusińskiego (*)

Znajdziemy transformatę funkcji \(\displaystyle{ f(t) = \sin(\omega t +T). }\)

W tym celu korzystamy z twierdzenia (theorem 1 p.36)

Jeśli funkcja \(\displaystyle{ a = \{a(t)\} }\) ma ciągłą pochodną \(\displaystyle{ a^{'} = \{a^{'}(t)\} , \ \ 0\leq t < \infty }\),

wtedy

\(\displaystyle{ sa = a' + a(0) }\)

gdzie \(\displaystyle{ a(0) }\) jest wartością funkcji dla \(\displaystyle{ t = 0. }\)

Dowód pomijamy.

Stosując to twierdzenie do funkcji \(\displaystyle{ e^{j\omega t} }\) i korzystając z addytywności przekształcenia,

mamy

\(\displaystyle{ s\{ e^{j\omega t} \}= 1 + j\omega \{e^{j\omega t}\} }\)

stąd

\(\displaystyle{ \{e^{j\omega t} \} = \frac{1}{s - j\omega} = \frac{( s +j\omega)}{(s +j\omega)(s -j\omega)} = \frac{s +j\omega}{s^2 + \omega^2} \ \ (1) }\)

Ze wzoru Eulera

\(\displaystyle{ \{e^{j\omega t}\} = \{\cos(\omega t) + j\sin(\omega t) \}\ \ (2)}\)

Na podstawie równań \(\displaystyle{ (1), (2) }\)

\(\displaystyle{ \frac{s +j\omega}{s^2 + \omega^2} = \{\cos(\omega t) \}+ j\{ \sin(\omega t)\} \ \ (3)}\)

Porównując części rzeczywistą i urojoną w równaniu \(\displaystyle{ (3), }\) otrzymujemy transformaty

\(\displaystyle{ \{\cos(\omega t)\} = \frac{s}{s^2 +\omega^2}, \ \ \{\sin(\omega t)\}= \frac{\omega}{s^2 +\omega^2} }\)

i ostatecznie

\(\displaystyle{ \{\sin(\omega t +T)\} = \sin(T) \frac{s}{s^2 +\omega^2} + \cos(T)\frac{\omega}{s^2 +\omega^2} .}\)

(*) Jan Mikusiński. OPERATIONAL CALCULUS. Volume I. PWN - POLISH SCIENTIFIC PUBLISHER Warszawa 1981.